《算法导论》[第2章] 算法入门-[2.2] 算法分析

|概念回顾|

算法分析即指对一个算法所需要的资源进行预测。

对于一个算法，一般只考察其最坏情况的运行时间，理由有三：

1. 一个算法的最坏情况运行时间是在任何输入下运行时间的一个上界。
2. 对于某些算法来说，最坏情况出现得还是相当频繁的。
3. 大致上看来，“平均情况”通常和最坏情况一样差。

|习题解答|

2.2-1 用Θ形式表示函数n³/1000-100n²-100n+3。

答：Θ(n³)

 

2.2-2 考虑对数组A中的n个数进行排序的问题：首先找出A中的最小元素，并将其与A[1]中元素进行交换。接着，找出A中的次最小元素，并将其与A[2]中的元素进行交换。对A中头n-1个元素继续这一过程。写出这个算法的伪代码，该算法称为选择排序(selection)。对这个算法来说，循环不变式是什么？为什么它仅需要在头n-1个元素上运行，而不是在所有n个元素上运行？以O形式写出选择排序的最佳和最坏情况下的运行时间。

[问题1] 伪代码如下：

SELECTION-SORT(A)
 　　for i←1 to n-1
  　　　　do min←∞
   　　　　　　for j←i to n
　　　　　　　　　 do if A[i]<min
    　　　　　　　　    then min←A[j]
    　　　　　　　　    minlabel←j
 　　exchange A[i]↔A[minlabel]

[问题2] 循环不变式：

初始化：此时i=1，而子数组A[1..i]。亦即，它只包含一个元素A[1]，显然是已排序的。

保持：在第二个for循环体中，即从A[i]到A[n]的数组元素中选出一个最小的，与第i个元素即A[i]互相交换相应的值，此时，因为假设已知A[1..i-1]已经排序好了，而新选出来的也同时大于A[i..i-1]中的任何一个数，这就是说A[1..i]也已排序。

终止：当i=n-1时，第二个for循环，从A[n-1]和A[n]中选出一个较小的与A[n-1]进行值交换。之后，所有的元素也就排序完了。

[问题3] 因为当i=n-1时，第二个for循环遍历的就只有A[n-1]和A[n]两个元素了，从中选出较小的那个数与A[i]值交换后被放到了最后第二位，而较大的那个数（同时也是全部元素中最大的），则自然排到了最后一位。显然已满足排序要求。

[问题4] 最佳和最坏情况下的运行时间都为Θ(n²)。因为这种直接选择排序，其关键字的比较次数与各元素原来的排列顺序无关。

 

2.2-3 再次考察线性查找问题（见练习2.1-3）。在平均情况下，需要检查输入序列中的多少个元素？假定待查找的元素是数组中任何一个元素的可能性是相等的。在最坏情况下又是怎么样？用Θ形式表示的话，线性查找的平均情况和最坏情况运行时间怎样？对你的答案加以说明。

答：平均情况需要查找(n-1)/2个元素；最坏情况下需要遍历完所有n个元素。

因为待查找的元素是数组中任何一个元素的可能性是相等的，即都为1/n，则可得，平均情况下的查找次数为：

(1+2+3+…+n)*(1/n) = (n-1)/2

最坏情况下可想而知是没有在该数列中找到对应的值，所以要遍历完整个数列才能确认。

用Θ形式表示都为Θ(n)。

 

2.2-4 应如何修该任何一个算法，才能使之具有较好的最佳运行时间？

答：在核心算法开始之前，先作一个判断：若所输入的数据已满足结果，则直接跳出算法，输出结果；反之，按正常步骤求解。