TimothyD.Barfoot 《机器人学的状态估计》6.1 中定义的向量和参考系的理解

最近在上网课。和大家一起学习Barfoot 的《机器人学的状态估计》。其中 第六节运动学中用的符号系统很奇怪，难以理解（但是，我用熟了以后发现还蛮好用的，又直观，又好算，by the way）。很多小伙伴都在问这个相关的问题，所以我把自己的理解分享一下。如果有什么疏漏或者错误，请务必指正。谢谢。

一、对于vector， vectrix 和 non-vector 的理解
Vector 可以理解为 客观存在，它是没有具体数值的（因为没有参考系描述）。但是它有方向，有大小，也可以运动。vectrix 理解为参考系，或者正交基底。 non-vector 是 坐标系上的具体数值，或者向量在该正交基下的系数。 不同参考系是可以有相对运动的（事实上 以body 系和imu系而言，有运动才是常态）。当然，参考系相对自己一定是静止的。

其中，r 是 vecor, F（花体） 是参考系（书中定义是矢阵vctrix），r1 是quantity（non-vector）。 所以，vecotor 就是 一个vctrix 的转置乘上 其对应的quantity（本式子中，显然，vectrix1 对应的是r1）（non-vector)。
对2 坐标系依然成立。

当然反过来写也成立，但是，书中 后面大部分都是 用的第一种写法。
二、矩阵相对运动角速度
然后通过 参考系之间的角速度来加深理解。

这个 角速度也是一个向量（vector），虽然它描述的 是 坐标系1 相对坐标系2 的角速度，或者坐标系2相对坐标系1 的角速度。但是这个相对运动发生在空间中而不是某一个坐标系下，所以我依然把它理解为vector。

所以有了后面公式6.40.

坐标系间的角速度， 在某一个坐标系下依然有定义。 他们之间的关系就是（如前面所示） 该坐标系的vctrix 的转置 乘以相对应的non-vector。

三、时间导数
下面讨论关于导数的定义。书中用了两个坐标系，（因为实际应用的时候，我们一般只考虑 body 系和imu系，也是两个。）分别用和黑点和白点表示。

首先 vector 没有坐标，它的 导数可以对于不同坐标系分别定义。
其次，坐标系本身 也是在空间中的，没有在坐标系中。所以也可以分别定义时间导数。但是，对自己的导数永远是0，因为，它相对自己不运动。

对于non-vector 来说，它本身出于一个坐标系下，所以只有一个导数。

对于non-vector 而言，non-vector 的导数还处于自己坐标系下，所以结果依然是non-vector。但是，只要 根据 最开始 的公式，乘上 对应的vectrix 的转置 （或者 转置右乘vectrix 本身） 就可以得到 non-vector的导数对应的 vector 的导数。注意frame1 对应的是实心圈圈导数，frame2 对应的是空心圈圈。
注意vector 的导数还是vector 无论实心空心的导数都是。

导数的导数依然成立

四 总结

以上其实都是我的个人理解和一些直觉上的思考。如果不严谨，或者错误欢迎指出。
其实关于这个符号系统只需要记住如下几点就可以了

1. vector 等于 vectrix转置乘 对应non-vector
2. 3. non-vector 导数还是该坐标系下的non-vector
3. non-vector只有一个导数，就是该坐标系下的导数
4. frame 有两个导数，但是相对自己的那个导数永远等于零