算法导论 — 思考题8-3 变长数据项的排序

（变长数据项的排序）
　　a. 给定一个整数数组，其中不同的整数所包含的数字的位数可能不同，但该数组中，所有整数中包含的总数字位数为$n$。设计一个算法，使其可以在$O(n)$时间内对该数组进行排序。
　　b. 给定一个字符串数组，其中不同的字符串所包含的字符数可能不同，但所有字符串中的总字符个数为$n$。设计一个算法，使其可以在$O(n)$时间内对该数组进行排序。（注意：此处的顺度是指标准的字典序，例如$a<ab<b$。）
　　
　　解
　　a.
　　假设数组一共有$m$个元素，各元素的位数分别为$d_1,d_2,\dots ,d_m$，显然有${\sum }_{i=1}^m{d}_i=n$。如果采用基数排序，运行时间为$O(d_{max}m)$，其中$d_{max}={\max }_{1\le i\le m}{d}_i$，这与题目要求的$O(n)$运行时间不符。例如，假设元素个数$m=n/2+1$，有一个元素的位数为$n/2$，其他$n/2$个元素的位数都为$1$，这种情况下基数排序的运行时间为$O(n^2)$。
　　为了可以在$O(n)$时间内完成排序，考虑先按照元素的位数对元素进行分组，相同位数的元素分为一组，然后采用基数排序分别对每组元素进行排序，然后按照位数从小到大依次输出每组元素即可完成排序。
　　
　　该算法的时间复杂度取决于两部分，一部分是分组的时间，一部分是对各组元素进行排序的时间。分组的时间取决于确定各元素的位数所花费的时间，对于一个有$d_i$位的元素，需要$\Theta (d_i)$时间来确定它的位数。于是，确定所有元素的位数所花费的总时间为${\sum }_{i=1}^m\Theta (d_i)=\Theta (n)$。对各组元素的排序采用基数排序。对于第$j$组来说，假设其中有$m_j$个元素，该组元素都包含$j$个数位，基数排序的时间为$\Theta (j•m_j)$。于是，对各组元素进行基数排序的总时间为${\sum }_{j=1}^n\Theta (j\bullet m_j)=\Theta (n)$。根据以上分析，该算法的时间复杂度为$\Theta (n)$。
　　
　　b.
　　同样考虑借用基数排序的思想。在对数字的基数排序中，排序从低位开始，再到高位。与此不同，在对字符串的基数排序中，排序先从最左边的字符开始，再到右边的字符。下面给出一个例子。
　　
　　注意，第一轮排序对所有字符串的最左边的字符进行排序。在第一轮排序过后，所有字符串按照最左边的字符进行分组（如上图所示，第一轮排序过后，at和a为一组，box和bat为一组，fix、fox和fit为一组，I为一组）。因为要求按字典序来排序，所以可以断言，在最终排好序的序列中，第一组字符串肯定排在第二组字符串之前，第二组字符串也肯定排在第三组字符串之前……。于是在第二轮排序中，分别对第一轮分组后的各组元素进行组内排序，而不改变组与组之间的顺序。第二轮排序之后，又可以按各字符串的第二个字符进行分组，第三轮排序又针对第二轮的分组进行组内排序，如此递归下去，最后可以完成整个字符串序列的排序。
　　假如所有字符串都是C风格字符串（即字符串以’\0’结尾），假设第$i$个字符串的长度为$l_i$，那么在第$l_i+1$轮排序中，该字符串以’\0’参与排序，它一定会排在所在分组的前列，因为字符’\0’的值小于其他任何字符的值，而所有长度大于$l_i$的字符串都排在这个长度为$l_i$字符串的后面，这符合字典序。所以在第$l_i+2$轮排序中，这个长度为$l_i$字符串字符串可以不用参与排序，只需要让所有长度大于$l_i$的字符串参与排序。
　　根据以上分析，一个长度为$l_i$的字符串会参与$l_i+1$轮排序。如果每一轮排序都采用线性时间的计数排序，那么一个长度为$l_i$的字符串在每一轮排序中贡献$O(1)$时间，在所有$l_i+1$轮排序中贡献$O(l_i+1)$时间。于是，对所有字符串进行排序的总时间为
　　$\sum _{i=1}^{m}O(l_i+1)=O(\sum _{i=1}^m(l_i+1))=O(n+m)=O(n)$
　　在上式中，$m$为字符串的个数。假如没有空字符串，即所有字符串的长度至少为$1$，则肯定有$m\le n$，所以在上式中$O(n+m)=O(n)$是成立的。
　　下面组出该算法的伪代码。
　　
　　要对整个字符串数组$A$进行排序，只需要调用$\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{T}-\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{G}(A,1,A.length,1)$即可。

代码链接
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter08/Problem_8-3