【数学相关、逻辑推理】

世界七大数学难题

这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想

       美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。

　　其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。）

　“千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期，“千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。

P问题对NP问题
　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。
      NP完全问题，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。证明其中之一，便可以拿百万美元大奖。

　　这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial（意思是多项式的），还是Non-Polynomial，尚无定论。NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic（意思是非确定性的），P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。

      什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。 
　　这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。 
　　完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。

       人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。

       解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。前段时间轰动世界的一个数学成果，是几个印度人提出了一个新算法，可以在多项式时间内，证明某个数是或者不是质数，而在这之前，人们认为质数的证明，是个非多项式问题。可见，有些看来好象是非多项式的问题，其实是多项式问题，只是人们一时还不知道它的多项式解而已。如果判定问题π∈NP，并且对所有其他判定问题 π∈NP，都有π'多项式变换到π(记为π'∞π)，则称判定问题π 是NP完全的。对P类，NP类及NP完全问题的研究推动了计算复杂性理论的发展，产生了许多新概念，提出了许多新方法。但是还有许多难题至今没有解决，P=NP?就是其中之一。许多学者猜想P≠NP，但无法证明。
霍奇(Hodge)猜想
　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

庞加莱(Poincare)猜想
       庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。

　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

　　在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

　　2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

黎曼(Riemann)假设
　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性
　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
　　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

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逻辑推理--智力题 

1> 蒙特门难题

        本智力题得名于一位美国电视游戏节目的主持人蒙特(Monty)，他曾在多年之前主持一档档名为成交的节目。在其中的一个游戏中，Monty向竞猜者展示了三扇门。有一扇门之后是一辆小轿车。另两扇门之后是空房间。蒙特事先知道门后是什么，但您并不知道。

　　游戏分为三步：
　　1.您选择一扇门。
　　2.蒙特将会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间。（他从不会打开那扇后面藏有汽车的。）
　　3.然后您可以选择是仍然选择在步骤1中选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的。
　　假定您选择了A门。然后蒙特打开了另两扇门中的一扇，假定为B门。现在您可以选择改选C门或者仍然坚持最初的选择，即A门。如果没有改变选择，那么可能会猜对也可能会猜错。另一方面，如果您改选C门，则还是既可能猜对也可能猜错。您会做出什么选择呢？在蒙特打开一扇门之后，是坚持最初的选择，还是改变前面已做的选择呢？为什么呢？

2> 舀酒难题

        据说有人给酒肆的老板娘出了一个难题：此人明明知道店里只有两个舀酒的勺子，分别能舀7两和11两酒，却硬要老板娘卖给他2两酒。聪明的老板娘毫不含糊，用这两个勺子在酒缸里舀酒，并倒来倒去，居然量出了2两酒，聪明的你能做到吗？

 

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1.不说话的学术报告

　　1903年10月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出2^67-1，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数字，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了2自乘67次再减去1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至少用了多少天？

2.国王的重赏

　　传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧？”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子？

3.王子的数学题

　　传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25％的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20％的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我的金箱、银箱中原来各有多少件手饰？

4.公主出题

　　古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”

5.哥德巴赫猜想

　　哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和（简称“1＋1”）。如：10＝3＋7，16=5＋11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所以就把哥德巴赫提出的这个问题称为哥德巴赫猜想。

　　世界上许多数学家为证明这个猜想作了很大努力，他们由“1＋4”→“1+3”到1966年我国数学家陈景润证明了“1＋2”。也就是任何一个充分大的偶数，都可表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的积。

　　你能把下面各偶数，写成两个素数的和吗？

　　（1）100=

　　（2）50=

　　（3）20=

6.贝韦克的七个7

　　二十世纪初英国数学家贝韦克友现了一个特殊的除式问题，请你把这个特殊的除式填完整。

7.刁藩都的墓志铭

　　刁藩都是公元后三世纪的数学家，他的墓志铭上写到：“这里埋着刁藩都，墓碑铭告诉你，他的生命的六分之一是幸福的童年，再活了十二分之一度过了愉快的青年时代，他结了婚，可是还不曾有孩子，这样又度过了一生的七分之一；再过五年他得了儿子；不幸儿子只活了父亲寿命的一半，比父亲早死四年，刁藩都到底寿命有多长？

8.遗嘱

　　传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3；生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢？

世界50个经典的数学难题

第01题 阿基米德分牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数
是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？

第02题 德·梅齐里亚克的法码问题

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。
问这4块砝码碎片各重多少？

第03题 牛顿的草地与母牛问题

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；
a＆#39;头母牛将b＆#39;块地上的牧草在c＆#39;天内吃完了；
a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；
　　求出从a到c"9个数量之间的关系？

第04题 贝韦克的七个7的问题

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * 7 *
* * * * * * *
   * 7 * * * *
   * 7 * * * *
   * * * * * * *
   * * * * 7 * *
     * * * * * *
     * * * * * *
用星号标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题 柯克曼的女学生问题

某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每
个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。

第07题 欧拉关于多边形的剖分问题Euler＆#39;s Problem of Polygon Division

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题 鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas＆#39; Problem of the Married Couples

n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的
妻子并坐，问有多少种坐法？

第09题 卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam＆#39;s Binomial Expansion

当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。

第10题 柯西的平均值定理Cauchy＆#39;s Mean Theorem

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。

第11题 伯努利幂之和的问题Bernoulli＆#39;s Power Sum Problem

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+口口。

第12题 欧拉数The Euler Number

求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。

第13题 牛顿指数级数Newton＆#39;s Exponential Series

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。

第14题 麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator＆#39;s Logarithmic Series

不用对数表，计算一个给定数的对数。

第15题 牛顿正弦及余弦级数Newton＆#39;s Sine and Cosine Series

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。

第16题 正割与正切级数的安德烈推导法Andre Derivation of the Secant and Tangent Series

在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。
试利用屈折排列推导正割与正切的级数。

第17题 格雷戈里的反正切级数Gregory＆#39;s Arc Tangent Series

已知三条边，不用查表求三角形的各角。

第18题 德布封的针问题Buffon＆#39;s Needle Problem

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面
上，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题 费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。

第20题 费马方程The Fermat Equation

求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数。

第21题 费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数。

第22题 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2]

第23题 高斯的代数基本定理Gauss; Fundamental theorem of Algebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。

第24题 斯图谟的根的个数问题Sturm;s Problem of the Number of Roots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。

第25题 阿贝尔不可能性定理Abel＆#39;s Impossibility Theorem

高于四次的方程一般不可能有代数解法。

第26题 赫米特-林德曼超越性定理

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不
可能等于零。

第27题 欧拉直线Euler＆#39;s Straight Line

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。

第28题 费尔巴哈圆The Feuerbach Circle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。

第29题 卡斯蒂朗问题Castillon＆#39;s Problem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。

第30题 马尔法蒂问题Malfatti＆#39;s Problem

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。

第31题 蒙日问题Monge＆#39;s Problem

画一个圆，使其与三已知圆正交。

第32题 阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius

画一个与三个已知圆相切的圆。

第33题 马索若尼圆规问题Macheroni＆#39;s Compass Problem

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。

第34题 斯坦纳直尺问题Steiner＆#39;s Straight-edge Problem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。

第35题 德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。

第36题 三等分一个角Trisection of an Angle

把一个角分成三个相等的角。

第37题 正十七边形The Regular Heptadecagon

画一正十七边形。

第38题 阿基米德π值确定法Archimedes; Determination of the Number Pi

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为口口和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中口口+1是口口、bv的调和中项，bv+1是bv、口口+1的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫作阿基米德算法。

第39题 富斯弦切四边形问题Fuss＆#39; Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题 测量附题Annex to a Survey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。

第41题 阿尔哈森弹子问题Alhazen＆#39;s Billiard Problem

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。

第42题 由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。

第43题 在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。

第44题 由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents

已知抛物线的四条切线，作抛物线。

第45题 由四点作抛物线A Parabola from Four Points

过四个已知点作抛物线。

第46题 由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。

第47题 范·施古登轨迹题Van Schooten＆#39;s Locus Problem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？

第48题 卡丹旋轮问题Cardan＆#39;s Spur Wheel Problem

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？

第49题 牛顿椭圆问题Newton＆#39;s Ellipse Problem

确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。

第50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。

 

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  1、一天一小伙子拿100元假钱去买东西。东西原价18元，售价21元，王老板找不开去和邻居换了找给小伙子。过了几天邻居找老板，老板又赔了邻居100元。问老板赔了多少钱？
　　2、“小明钓鱼回来，小玲问他钓了几条鱼，小明答：‘6条没头，9条没尾，8条只有半个身躯。’你知道小明到底钓了几条鱼？”
　　3、“有五个数字A、B、C、D、E，ABCDE×A=EEEEEE，求这几个数字是什么？”(根据验证，发现题目少打了一个E，故更正，谢谢网友的提醒！)
　　4、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块钱卖给另外一个，问他赚了多少？
　　5、A城一个商人有一头驴子和3000根胡萝卜.要将萝卜拉到1000公里外的B城去卖，只能用驴子驮。已知驴子一次性可驮1000根胡萝卜,但每走一公里要吃掉一根胡萝卜.问商人共可卖出多少胡萝卜?（驴吃萝卜吗？不知道，这可是一道韩国智力题）
　　6、有一个岔路口,有两条路.一条是活路,而另一条是死路.路口上有两个人一个说真话,另一个说假话.你可以问他们一人一个问题,但他们的回答只能是"是"或者"不是".从而你自己判断出哪条是活路来.
　　7、有4个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。“我看这块石头有17公斤重，”第一个孩子说。“我说它有26公斤，”第二个孩子不同意地说。“我看它重21公斤”，第三个孩子说。“你们都说得不对，我看它的正确重量是20公斤，”第四个孩子争着说。他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。最后他们把石头拿去称了一下，结果谁也没猜准。其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差2公斤，另外两个人所猜的重量与石头的正确重量之差相同。当然，这里所指的差，不考虑正负号，取绝对值。请问这块石头究竟有多重？
　　8、1，3，12，40，（？）猜猜第5个数是几？
　　9、某班30名同学，数学测验22人优秀，语文25人优秀，英语20人优秀，三科全优的至少多少人？
　　10、现在有12袋硬币（每袋硬币数量为100），但已知其中有一袋是假币，请问：需要称量多少次方可找出这袋假币？（已知真币：10g/枚；假币9g/枚）
　　11、1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
　　12、有一百个鸡蛋，九个碗。每个碗里面只能够放奇数个鸡蛋。问如何分？
　　13、甲乙两人甲家住六楼办公室也在六楼乙家住三楼办公室也是三楼他们每天行程一模一样请问乙每天爬的楼梯是甲的几分之几。
　　14、一个西瓜切四刀最多能切成多少块?
　　15、在一个平面上画10条线最多能把这个平面分成多少块?
　　16、一个细菌一分钟由一个分裂成两个,两分钟后分裂成四个,把一个这样的细菌放在一个瓶子里,一小时后瓶子被充满,现将两个这种细菌放在瓶子里,多久瓶子被充满?

1: 用Stirling逼近近似计算阶乘的探讨与应用

http://heymu.com/t/use-stirling-do-factorial-by-myheimu.htm
2: 多项式
http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx055/zsx05501/zsx055010.htm

幂数列求和纵横引论  柳智宇

3: RAS算法
http://www.smatrix.org/bbs/simple/index.php?t204.html

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【数学----Mathematics】

1:简明数论

2:数学分析原理

3:Bach的"Introduction to Algorithmic Number Theory"

4:SRM,SICP,Concrete Maths,Programming Pearls, Algorithm Design

北大张筑生老师的“数学分析新讲

菲赫金哥尔茨的“微积分学教程

吉米多维奇的“数学分析习题集

清华计算机系开有“随机数学"

莫宗坚先生的“代数学

Markov过程,没有随机过程，你怎么分析网络和分布式系统？怎么设计随机化算法和协议？

德国Stoer的“数值分析引论

北师大出过一本“基础集合论”不错。南大出版朱梧(木贾)老师的“集合论导引”也许观点更高些

GTM系列中的"Introduction to Axiomatic Set Theory"和"A Course of Mathematical Logic"。这两本都有世界图书的引进版。你如果能搞定这两本，可以说在逻辑方面真正入了门.

据说全中国最多只有三十个人懂图论(当年上课时陈道蓄老师转引张克民老师的话)。此言不虚。图论这东东，技巧性太强，几乎每题都有一个独特的方法，让人头痛。不过这也正是它魅力所在：只要你有创造性，它就能给你成就感。所以学图论没什么好说的，做题吧。

国内的图论书中，王树禾老师的“图论及其算法”非常成功。一方面，其内容在国内教材里算非常全面的。另一方面，其对算法的强调非常适合计算机系(本来就是科大计算机系教材)。有了这本书为主，再参考几本翻译的，如Bondy&Murty的“图论及其应用”，邮电出版社翻译的“图论和电路网络”等等，就马马虎虎，对本科生足够了。
再进一步，世界图书引进有GTM系列的"ModernGraph Theory"。此书确实经典！国内好象还有一家出版了个翻译版。不过，学到这个层次，还是读原版好。搞定这本书，也标志着图论入了门，呵呵。
组合感觉没有太适合的国产书。还是读Graham和Knuth等人合著的经典“具体数学”吧，有翻译版，西电出的。

抽象代数，国内经典为莫宗坚先生的“代数学”。此书是北大数学系教材，深得好评。然而对本科生来说，此书未免太深。可以先学习一些其它的教材，然后再回头来看“代数学”。国际上的经典可就多了，GTM系列里就有一大堆。推荐一本谈不上经典，但却最简单的，最容易学的：http://www.math.miami.edu/~ec/book/ 这本“Introduction to Linear and Abstract Algebra"非常通俗易懂，而且把抽象代数和线性代数结合起来，对初学者来说非常理想。不过请注意版权问题，不要违反法律噢。
数论方面，国内有经典而且以困难著称的”初等数论“(潘氏兄弟著，北大版)。再追溯一点，还有更加经典(可以算世界级)并且更加困难的”数论导引“(华罗庚先生的名著，科学版，九章书店重印)。把基础的几章搞定一个大概，对本科生来讲足够了。但这只是初等数论。本科毕业后要学计算数论，你必须看英文的书，如Bach的"Introduction to Algorithmic Number Theory"。
理论计算机的根本，在于算法。现在系里给本科生开设算法设计与分析，确实非常正确。环顾西方世界，大约没有一个三流以上计算机系不把算法作为必修的。
算法教材目前公认以Corman等著的"Introduction to Algorithms"为最优。对入门而言，这一本已经足够，不需要再参考其它书。南大曾翻译出版此书，中文名为”现代计算机常用数据结构与算法“。pie好象提供了网上课程的link，我也就不用废话。
最后说说形式语言与自动机。我们用过北邮的教材，应该说写的还清楚。但是，有一点要强调：形式语言和自动机的作用主要在作为计算模型，而不是用来做编译。事实上，编译前端已经是死领域，没有任何open problem。如果为了这个，我们完全没必要去学形式语言--用用yacc什么的就完了。北邮的那本，在深度上，在跟可计算性的联系上都有较大的局限，现代感也不足。所以建议有兴趣的同学去读英文书......不过英文书中好的也不多，而且国内似乎没引进这方面的教材。
入门以后，把形式语言与自动机中定义的模型，和数理逻辑中用递归函数定义的模型比较一番，可以说非常有趣。现在才知道，什么叫”宫室之美，百官之富“！

离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：
1) 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。
2) 图论，算法图论；组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上。
3) 抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。
但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗？一直到大约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。
D.E.Knuth(他有多伟大，我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义：
第一，针对abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些
数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡“具体”的数学。
在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题--公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，
数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。
第二，Concrete是Continuous(连续)加上discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学，都是有用的数学！
前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并
行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。
下面随便举一些例子。
由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论(尤其是计算数论)，代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。
很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这就大错特错了。现代密码学至少包含以下层次的内容：
第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗？能否有一般的工具证明协议正确？
第二，密码学的基本课题。例如，比以前更好的单向函数，签名协议等。
第三，密码学的高级问题。例如，零知识证明的长度，秘密分享的方法。
第四，密码学的新应用。例如，数字现金，叛徒追踪等。
在分布式系统中，也有很多重要的理论问题。
例如，进程之间的同步，互斥协议。一个经典的结果是：在通信信道不可靠时，没有确定型算法能实现进程间协同。所以，改进TCP三次握手几乎没有意义。
例如时序问题。常用的一种序是因果序，但因果序直到不久前才有一个理论上的结果......
例如，死锁没有实用的方法能完美地对付。

 

 

 

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数学基础的一些经典链接

1: 用Stirling逼近近似计算阶乘的探讨与应用

http://heymu.com/t/use-stirling-do-factorial-by-myheimu.htm

2: 多项式
http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx055/zsx05501/zsx055010.htm

幂数列求和纵横引论  柳智宇

3: RAS算法
http://www.smatrix.org/bbs/simple/index.php?t204.html

 

• John Armstrong' blog- The Unapologetic Mathematician，代数

• John Baez's website(weekly readings ends at week 300)

• Terence Tao's blog- 陶哲轩的博客，大家都知道的

• A Neighborhood of Infinity- 从计算机科学的角度看数学

• Goedel's lost letter- 计算数学

• Logic Matters- 形式逻辑

• Mark Chu-Carrol- 谷歌的，怪人吧

• art of problem solving- 不是博客，而是一个社区

• Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles- 动态模拟，很直观的数学

• The Universe of Discourse- 主要是程序，不是纯数学

• Tim Gowers- 数学的方方面面

• Gil Kalai- 组合数学

• www.mymathforum.com- 论坛，英文的

• www.mathoverflow.net- 数学问答

• ProjectEuler- 用程序帮助解决困难的数学问题

• Republic of Mathematics- 数学共和博客

• Sketches of Topology- 拓扑图形

• http://planetmath.org/- 数学百科

• The opinions of Doron Zeilberger- Doron Zeilberger的数学杂谈

• The Comonad.Reader- 都跟Haskell 有关

• http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html