《微积分：一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件

二阶可导点是拐点的必要条件

设  存在，且点 （x0，f(x0) ) 为曲线拐点，则 

 

判断拐点的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续，在点 x=x0 的某去心邻域  内二阶导数存在，且在该点的左右邻域内  变号

则点 （x0，f(x0) ) 为曲线拐点

 

判断拐点的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 的某邻域内三阶可导，且  ,则点 （x0，f(x0) ) 为曲线拐点

 

判断拐点的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且 

当 n 为奇数时，点 （x0，f(x0) ) 为曲线拐点

 

证明：

由于n为奇数，令 n=2k+1，构造极限

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得：

同理可证  的情况

故点（x0，f(x0) ) 为曲线拐点

证毕