51Nod 提高组400+试题 第四组 种田

题目大意

% 　　给定一个面积 $n\times m$ 的区域，在其中放若干个边长为 $l$ 的正方形矩阵，使得每个正方形矩阵的边缘与和其相邻的正方形矩阵的边缘(或相邻的整个大的区域的边缘)的距离都相等，求合法的方案数。
　　数据范围　$1⩽n,m,l⩽10^{13}$。

题解

% 　　你拿到这道题，想了很久，发现只会考虑朴素算法，你尝试着枚举一行放 $x$ 个正方形矩阵，一列放 $y$ 个矩阵，其中 $i\times l⩽n,j\times l⩽m$ 且 $i,j$ 都是正整数，你发现，这对 $⟨l,r⟩$ 合法的充要条件是
$$\frac{n-xl}{x+1}=\frac{m-yl}{y+1}$$　　你考虑到除法可能会丢失精度，你化简了一下，得到了一个优秀的式子和不优秀的暴力。
$$(n-xl)(y+1)=(m-yl)(x+1)\text{\hspace{1em}(1)}$$

for(long long x=1;x*l<=n;x++)
	for(long long y=1;y*l<=m;y++)
		if((n-x*l)*(y+1)==(m-y*l)*(x+1))
			ans++;

% 　　你看着那行判断，沉思许久，你发现对于任意满足 $(1)$ 式的 $x$，都有唯一成立的 $y$。你尝试把 $(1)$ 式拆开
$$ny+n-xyl-xl=mx+m-xyl-yl$$

% 　　化简，整理，尝试让左边只剩下 $y$。
$$y=\frac{(m+l)x+m-n}{n+l}$$

% 　　于是，你得到了一个优秀少许的做法，枚举 $x$，判断 $y$ 是不是正整数。

for(long long x=1;x*l<=n;x++)
	if(((m+l)*x+m-n)%(n+l)==0) ++ans;

% 　　你继续化简，发现没有任何余地，或者说，你的脑子根本不给你机会想到比这更优秀的做法，你开始放弃这种想法，并在为几秒钟之前的自己白忙活了而感到幸灾乐祸。你继续考虑 $(1)$ 式，你尝试将它变得更加优美一些。
$$(m+l)x+(-n-l)y=n-m$$　　你定眼一看，发现 $n,m,l$ 都是已知的，你令 $$a=m+l,b=-n-l,c=n-m$$　　问题变成了关于 $x,y$ 的一元二次方程$$ax+by=c$$　　的正整数解的个数，再 浪费时间 想想，你想到了扩展欧几里得算法，并用它求出了不定方程的特解 $x_0,y_0$，还导出了所有解的通式
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+k\times \frac{b}{(a,b)}\\ y=y_0-k\times \frac{a}{(a,b)}\end{array}$$

% 　　你发现你要求的，便是使得 $x,y$ 均为正整数的整数 $k$ 的个数。将这个限制代入，得
$$\{\begin{array}{l}1⩽x_0+k\times \frac{b}{(a,b)}⩽\lfloor \frac{n}{l}\rfloor \\ 1⩽y_0-k\times \frac{a}{(a,b)}⩽\lfloor \frac{m}{l}\rfloor \end{array}$$　　你分别讨论了两个式子化简时乘除的东西的正负号，写出了这样的代码。

#include
using namespace std;
#define int long long
int exgcd(int a,int b,long long &x,long long &y) {
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x; return d;
}
int Dioequ(int a,int b,int c,long long &x,long long &y){
	int d=exgcd(a,b,x,y);
	int k=c/d; x*=k;y*=k;
	return d;
}
int n,m,l;
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);
	int a=m+l,b=-n-l,c=n-m,x1,y1;
	int gcd=Dioequ(a,b,c,x1,y1);
	double la=(double)(1-x1)/(b/gcd);//计算第一条式子的左侧<=1整理后的结果
	double lb=(double)(1-y1)/(-a/gcd);//计算第二条式子的左侧<=1整理后的结果
	double ra=(double)(n/l-x1)/(b/gcd);//计算第以条式子的左侧>=n/l整理后的结果
	double rb=(double)(m/l-y1)/(-a/gcd);//计算第二条式子的左侧>=m/l整理后的结果
	if(-a/gcd<0) swap(lb,rb);//判断正负
	if(b/gcd<0) swap(la,ra);
	int up=(int)floor(min(ra,rb));
	int dn=(int)ceil(max(la,lb));
	if(min(ra,rb)<max(la,lb)) return printf("0\n")==1;//判断无解
	printf("%lld\n",up-dn+1);
	return 0;
}

% 　　你对这份代码信心满满，并决定这份代码交上去，本以为需要调半天，结果发现过了……