【BZOJ 2818】 gcd（附φ的线性筛法预处理）

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.
注意，若x!=y，则(x,y)与(y,x)都要计算在内。
1<=N<=10^7

Analysis

设 gcd(px,py)=p,p 为素数。
满足上式的 x,y 必然互质。
因此

Ans=∑1≤p≤n,p为素数(1+2∗∑x=2⌊np⌋φ(x))

预处理 φ 的前缀和，直接 O(n) 扫过。
但是，身为蒟蒻的我，太弱，竟然忘了 φ 的线筛预处理，赶紧恶补了一下。

φ的预处理

因为线筛只可能出现 gcd(x,y)=1 或 y|x 的情况，所以我们只用对这两种情况讨论。
首先，因为 φ 是积性函数，所以若 gcd(x,y)=1 ，则 φ(x∗y)=φ(x)∗φ(y) 。
而若 y|x ，则 φ(x∗y)=φ(x)∗y ，证明如下：
正难则反，首先有一个神奇的性质。
若 n,m 不互质，设其 gcd 为 b ，则有 n=k1b,m=k2b .
n+m=(k1+k2)b ，亦不与 n 或 m 互质。
[1,x] 中与 x 不互质的数个数为 x−φ(x) 个。
所以 [x+1,x+x] 中与 x+x 不互质的数的个数亦为 x−φ(x) 个。
⋯⋯
[1,x∗y] 中与 x 不互质的数的个数为 y(x−φ(x)) ，
即与 x 互质的数的个数就是 y∗φ(x) 。

Code

#include
#include
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=int(1e7);
int n,pri[N];
ll ans,phi[N];
bool bz[N];
void pre(int n)
{
    phi[1]=1;
    fo(i,2,n)
    {
        if(!bz[i]) bz[i]=1,pri[++pri[0]]=i,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,pri[0])
        {
            int t=i*pri[j];
            if(t>n) break;
            bz[t]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[t]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            phi[t]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
    fo(i,3,n) phi[i]+=phi[i-1];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    pre(n);
    fo(i,1,pri[0])
    {
        if(n/pri[i]<2) break;
        ans+=phi[n/pri[i]]*2;
    }
    printf("%lld",ans+pri[0]);
    return 0;
}