「CQOI2015」选数

「CQOI2015」选数

求在区间 [L,R] 内选取 n 个数(可重复)，最大公约数为 k 的方案。答案对 109+7 取模。

n,k<=109
L,R<=109

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我们发现如果要使选出的数的最大公约数为 k ，那选出的这些数必定都是 k 的倍数。
再观察一下，我们会发现这些 k 的倍数的最大公约数也只可能是 k 的倍数。

所以我们设
f(x)=[L,R] 内选 n 个数, gcd为 k 的方案数
g(x)=[L,R] 内选 n 个数，gcd为 k 的倍数的方案数

[L,R] 内 k 的倍数的个数为

⌊Rk⌋−⌊L−1k⌋

那么

g(x)=(⌊Rk⌋−⌊L−1k⌋)n

g(x)=∑x|df(d)

⇒f(x)=∑x|dμ(dx)g(d)

∴f(x)=∑x|dμ(dx)(⌊Rd⌋−⌊L−1d⌋)n

我们要求的就是 f(k)

ans=∑x|kμ(dx)(⌊Rk⌋−⌊L−1k⌋)n

ans=∑x=1μ(x)(⌊Rxk⌋−⌊L−1xk⌋)n

我们发现，当 ⌊Rxk⌋,⌊L−1xk⌋ 相同时
(⌊Rxk⌋−⌊L−1xk⌋)n 也相同

所以我们可以在 O(n√logn) 内求出ans 的值，用杜教筛求出 μ(x) 的前缀和即可。

要注意取模的数作差的时候要加上模数！
(a−b)%MOD⇒(a−b+MOD)%MOD

code：

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
const int N = 5000000;
const int LIM = 1000000;

ll ksm( ll a, int b )
{
    ll ret = 1; 
    while( b ) 
    {
        if( b & 1 ) ret = (ret * a) %MOD;
        a = (a * a) %MOD; b >>= 1; 
    }
    return ret;
}

map <int, ll> m;

bool is_prime[N];
int tot = 0, prime[N], mobius[N];

int n, k, L, R;

void init( int size )
{
    memset( is_prime, true, sizeof( is_prime ) );
    is_prime[1] = 1; mobius[1] = 1;

    for( int i = 2; i <= size; i ++ )
    {
        if( is_prime[i] )
            prime[++tot] = i, mobius[i] = -1;

        for( int j = 1; j <= tot; j ++ )
        {
            int k = i * prime[j];
            if( k > size ) break;
            is_prime[k] = false;

            if( i % prime[j] == 0 )
                mobius[k] = 0;
            else mobius[k] = - mobius[i];   
        }
    }

    for( int i = 2; i <= size; i ++ )
        mobius[i] = (mobius[i] + mobius[i-1]) %MOD;
}

ll calc_mobius( int x )
{
    if( x <= LIM ) return mobius[x];
    if( m[x] ) return m[x];

    int next = 0; ll ret = 0;
    for( int i = 2; i <= x; i = next + 1 )
    {
        next = x / ( x / i );
        ret -= calc_mobius(x/i) * (next-i+1);
    }

    m[x] = ret %MOD;
    return ret %MOD;
}


int main()
{
    init( LIM ); 

    scanf( "%d%d%d%d", &n, &k, &L, &R );

    R = R / k; L = ( L - 1 ) / k;

    int next = 0; ll ans = 0;
    for( int i = 1; i <= R; i = next + 1 )   
    {
//      printf( "i:%d, L:%d, R:%d\n", i, L, R );
        if( L/i ) next = min( R/(R/i), L/(L/i) ); else next = R / (R/i);
        ans += ( ksm( (R/i)-(L/i), n ) * ( calc_mobius(next) - calc_mobius(i-1) + MOD ) %MOD);
        ans %= MOD;
//      printf( "next:%d, mobsum(next):%d\n", next, calc_mobius(next) );
    }

    printf( "%lld\n", ans );

    return 0;
}

// 2 2 2 4