板子：离散对数、BSGS及其算法

离散对数

求最小的r使得a^r=b(mod p)成立

如果在没有p的时候，r=log(a,b)，是个对数

因为有mod，所以叫做离散对数。

如何求离散对数

第一种方法是暴力找r，不多讲了。

下面的方法不怎么讲证明，只管照着步骤弄就行了，以后补证明吧。

BSGS

Baby step Giant step,中文名叫做大步小步法，和它的过程很有关联。

如果P是素数：

因为如果有解，则r一定小于p;

令m=sqrt(p),令r=i*m+j(0<=i<=m,0<=j<=m)

则a^(i*m) * a^j=b(mod p)

分别处理a^j以及a^(i*m),用逆元进行查找。

所以时间复杂度是O(sqrt(p)*logsqrt(m))的。

扩展BSGS

如果P不是素数：

在求逆元的时候可能会出现问题，因此 需要先进性一些处理：

可以直接看代码，反正相当于把代码复述了一遍。

扩展BSGS代码（BSGS也在里面了）

BZOJ 2480: Spoj3105 Mod

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=350000;
int a,p,b,ans;
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ret;
}
int niyuan(int a,int p)
{
    int x,y;
    int d=exgcd(a,p,x,y);
    if(d!=1)return -1;
    return (x+p)%p;
}
int qkpow(int a,int p,int mod)
{
    LL t=1,tt=a%mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)t=t*tt%mod;
        tt=tt*tt%mod;
        p>>=1;
    }
    return t;
}
struct data
{
    int id,d;
    friend bool operator<(data a,data b)
    {
        return a.d!=b.d?a.dint BGSG(int a,int b,int p)
{
    int m=ceil(sqrt(p)),t;//向上取整
    t=1%p;
    for(int j=0;j<m;j++,t=1ll*t*a%p)
        BG[j]=(data){j,t};
    sort(BG,BG+m);
    t=1%p;
    int tt=qkpow(a,m,p),f,s;
    for(int i=0;i<=m;i++,t=1ll*t*tt%p)
    {
        f=1ll*b*niyuan(t,p)%p;
        s=lower_bound(BG,BG+m,(data){0,f})-BG;
        if(BG[s].d==f)
            return i*m+BG[s].id;
    }
    return -1;
}
int exBGSG(int a,int b,int p)
{
    a%=p,b%=p;//细节 
    int cnt=0,v=1;
    if(b==1)return 0;//细节 
    for(int d=gcd(a,p);d!=1;d=gcd(a,p))
    {
        //cerr<" "<0<<" "<0<if(b%d)return -1;
        b/=d,p/=d;v=1ll*v*a/d%p;//v还可以这么mod感觉很棒，因为最后的p是当前p的因数，所以应该是成立的 
        cnt++;
        if(b==v)return cnt;//细节 
    }
    int tmp=BGSG(a%p,1ll*b*niyuan(v,p)%p,p);//v和p0明显是互质的，因为v只包含a的因数，但是p0和a互质 
    if(tmp==-1)return tmp;
    return tmp+cnt;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&a,&p,&b) && (a || b || p))
    {
        ans=exBGSG(a,b,p);
        if(ans==-1)
            printf("No Solution\n");
        else
            printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}