FFT(快速傅里叶变换)算法学习笔记

FFT(快速傅里叶变换)算法学习笔记

基本概念

FFT(FastFourierTransformation) 即快速傅里叶变换，是 DFT 的加速算法，利用单位复数根的特殊性质，可以在 Θ(nlogn) 的时间内算出 DFT ，利用相似性可以在同样的复杂度完成逆运算
DFT(DiscreteFourierTransformation) 即离散傅里叶变换，将系数向量转换成单位复数根处点值表示的过程。

在中学数学中，多项式相加的时间复杂度是 O(n) ，相乘复杂度是 O(n2) (即两个表达式各项相乘)，FFT算法用来加速多项式乘法，使得多项式乘法可以在 O(nlogn) 的时间复杂度内完成，ACM-ICPC中还有一些构造多项式计数的问题也可以用FFT加速。

数学基础

多项式

一个以 x 为变量的多项式定义在一个代数域 F 上，将行数 A(x) 表示为形式和：

∑j=0n−1ajxj

我们称 aj 为多项式系数， aj∈F ，典型的 F 就是复数集合 C 。如果一个多项式的最高非零系数是 ak ,，那么成这个多项式的 次数是 k ，记做 degree(A)=k ，任何一个严格大于一个多项式次数的整数都是该多项式的 次数界。

多项式的表示

系数表达

即常见的表达方式，对于 ∑n−1j=0ajxj 而言，其系数表达是一个由系数组成的向量 a=(a0,a1,a2,⋯,an−1,an)。对于一些运算，系数表达式十分方便，例如对 A(x) 在给定定点 x_0$处求值，使用秦九韶算法，我们可以在 Θ(n) 的时间复杂度内完成。

A(x0)=a0+x0(a1+x0(a2+⋯+x0(an−2+x0(an−1))⋯))

但考虑多项式乘法时，采用中学时的办法，复杂度达到了 Θ(n2)

点值表达

一个次数界为 n 的多项式 A(n) 的点值表达就是一个由 n 个点值对组成的集合

{(x0,y0),(x1,y1),...,(xn−1,yn−1)}

使得对任意的整数 k=0,1,..n−1 各不相同, 且 yk=A(xk) 。
一个多项式可以有很多不同的点值表达，因为可以采用 n 个不同的点构成的集合作为这种表达的基。

两种表达方式的互相转换

求值(系数表达 ⇒ 点值表达)

一个显然的办法就是，选取 n 个不同的点，依次运用秦九韶算法求出值，时间复杂度为 Θ(n2) 。
稍后可以得到，如果巧妙选点(即利用单位复数根的特殊性质)，可以将复杂度降至 Θ(nlogn) 。

插值(点值表达 ⇒ 系数表达)

根据算法导论定理30.1(插值的唯一性)证明，当插值多项式的次数界等于已知的点值对的数目，插值才是明确的。

复数相关

单位复数根

n 次单位复数根指的是满足 ωn=1 的所有复数 ω ， n 次单位复数根刚好有 n 个，他们是 e2kπni ， 其中 i 是复数单位, k=0,1,2...n−1 ，在复平面上这 n 个根均匀的分布在半径为 1 的圆上，关于复数指数的定义如下：

eui=cos(u)+sin(u)i

其中 ωn=e2iπn 倍称为主 n 次单位根。

消去引理

折半引理

求和引理

FFT、DFT、逆DFT

参考资料

FFT算法学习笔记
算法导论(第二版)