Sum（莫比乌斯反演 1~n与p互质数之和）

原题： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4407

题意：

原来的n长数组123…，有两种操作，一种是单点修改，一种是查询区间与p互质的数之和。

解析：

因为操作只有1000个，所以对于修改的数可以暴力做，对于原始的位置相当于做$[1,R]$中与p互质的数之和。

这个用莫比乌斯做，设$f(d)={\sum }_{i<=R}i\ast [gcd(i,p)=d]$，$g(d)={\sum }_{i<=R}i\ast [d|gcd(i,p)]$，有$g(d)=d+2d+...kd(kd+d>R)$

$g(d)$表示的是$gcd(i,p)=kd$，而$f(d)$表示的是$gcd(i,p)=d$

注意，此时的d的取值必须是p的因子，这个条件很关键，降低了时间复杂度

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因为有$g(d)=\sum f(i\ast d)$，所以$f(d)=\sum u(i)\ast g(i\ast d)$。

答案为$f(1)={\sum }_{i}u(i)\ast g(i)$

这里的$i$只需要枚举p的因子即可。

代码：

#include
using namespace std;
#define LL long long

const int maxn=4e5+5;
int mu[maxn],pri[maxn>>1],now;
bool vis[maxn];

void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++now]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<maxn;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            else{
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
vector<int>fac[maxn];
LL deal(int r,int p){
    if(r<=0)return 0;
    if(fac[p].empty()){
        int en=sqrt(p);
        for(int i=1;i<=en;i++){
            if(p%i==0){
                fac[p].push_back(i);
                if(p/i!=i){
                    fac[p].push_back(p/i);
                }
            }
        }
    }
    LL ans=0;
    for(auto y:fac[p]){
        LL st=(LL)y;
        LL en=r/y*y;
        ans+=(LL)(mu[y])*(st+en)*(en/st)/2ll;
    }
    return ans;
}

int main(){
    init();

    int t;scanf("%d",&t);
    unordered_map<int,int>re;
    while(t--){
        int n,q;scanf("%d%d",&n,&q);
        re.clear();
        while(q--){
            int flag;scanf("%d",&flag);
            if(flag==1){
                int l,r,p;scanf("%d%d%d",&l,&r,&p);
                LL ans=deal(r,p)-deal(l-1,p);
                for(auto y:re){
                    if(y.first<=r&&y.first>=l){
                        if(__gcd(y.first,p)==1)ans-=(LL)y.first;
                        if(__gcd(y.second,p)==1)ans+=(LL)y.second;
                    }
                }
                printf("%lld\n",ans);
            }
            else{
                int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
                re[a]=b;
            }
        }
    }
}