[数据结构与算法] 递归解题笔记
关于递归的本质理解，以及解题模板。
递归理解
递归本质上类似于循环，只不过是通过循环体调用自己，来进行所谓的循环。
为什么会有这样一种形式呢？就是因为计算机语言在创造的时候，本质上是汇编。汇编的特点就是没有所谓的循环嵌套这一说法，它的执行方式是，程序员之前在某个地方写了一段函数，或者一段指令，汇编执行就直接不断地反复跳转到之前的那段指令，不断去执行。这就是所谓的递归。
循环本身可以被编译出来，再去看它的汇编代码。会发现，其实循环和递归本身有异曲同工之处。因此，递归和循环两者并没有明显的边界。
重复性可以用计算机解决，从而给人类省很多事。
递归与《盗梦空间》
找到递归的解题感觉，就是要找到所谓的归去来兮的感觉。可以和盗梦空间联系起来。
主线情节：
从飞机开始，然后去到城市，再往下不断递归，最后在雪山的屋子里，这时已经是第三层递归了。
每一层递归时间会变慢（这点暂且不考虑），每进到一层递归里，相当于进入一个新的世界，或者说一个互不干扰的世界，可以在里面做一些事情。再下到另外更深一层，再做另外一些事情。
如果要返回现实世界，必须再一层一层的回来，而且每次下去或者回来的时候，自身状态会发生改变，或者把自身的状态带到下一层，发生改变后再带回来（类似于传引用）。但是环境里面的东西是不受影响的，也就是说下一层的环境不会影响这一层环境里面的人和物，除非是主角或者主角相关的人。我们可以把这些人（即主角团队）理解为函数的参数。
递归的特点
递归的特点是：
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向下进入到不同的递归层，也就是所谓的梦境，向上又回到原来的层。一般来说不能直接跳跃，必须一层一层地下去，然后一层一层地回来。所谓的就是有一种对称性，或者叫做归去来兮的感觉。
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通过声音同步回到上一层。所谓这种同步的关系，就是用参数来进行函数不同层之间的变量传递。
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每一层的环境和周围的人都是一份拷贝，每一层的房子和建筑等等，以及所谓的无关人物，都类似于硬生生的创造了一个新的世界。即使把这个世界整个都打坏了，当去到下一层或者回到上一层，上一个世界里面的建筑之类，还是不受影响。然而主角等几人团队，可以穿越不同层级的梦境，同时把自身和自己所要携带的东西，带到不同的梦境中去发生变化，并把变化携带回来。主角团队类似于函数的参数，同时还会有一些全局变量。
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递归最后的运行方式，就成了一个递归栈。一层一层展开，这种形式就像一种剥洋葱的形式。所谓剥洋葱的形式，就是类似于一个栈的形式一层一层一层进去，然后把它剥开。而栈本身就是递归调用的时候，系统给我们自动生成了一个这样的调用栈。
note：做递归时，想到盗梦空间，该怎么弄。
递归模板
1. recursion terminator（递归终结者）
也就是在写递归函数开始，一定要记得先把函数的递归终止条件写上。否则，会造成无限递归（死递归），最后只能把程序杀掉。
2. process logic in current level （处理当前层逻辑）
完成这一层要进行的逻辑代码。
3. drill down（下探到下一层）
需要用参数标记当前是哪一层。并且把参数放进去。
4. reverse the current level status if needed（清理当前层）
如果递归完了，最后一部分这一层有些东西可能要清理。
思维要点
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抵制人肉递归。
不要进行人肉递归，即用人类的思维去一个一个枚举和数数。前期可以画出递归树，但后期要逐渐养成直接看函数本身就开始写。
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找最近重复子问题。
找到最近最简方法，将其拆解成可重复解决的问题（重复子问题）。因为我们写的程序指令，只包括if else (判断) ， for-loop (循环)，以及**recursion (递归调用)**这三部分。
为什么看起来很复杂的逻辑可以用5到10行代码解决，就是因为问题本身具有可重复性。而计算机最擅长计算具有重复性的问题。
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数学归纳法思维
从n成立推到出n+1也成立。没有反例即正确。
实战
LeetCode-144
原代码：
class Solution {
public:
vector preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector res;
if (!root) {
return res;
}
helper(root, res);
return res;
}
void helper(TreeNode* root,vector &res){
res.push_back(root->val);
if (root->left) {
helper(root->left, res);
}
if (root->right) {
helper(root->right, res);
}
}
};
按照模板修改后代码：
class Solution {
public:
vector preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector res;
helper(root, res);
return res;
}
void helper(TreeNode* root,vector &res) {
// 1 recursion terminator
if (!root) {
return;
}
// 2 process logic in current level
TreeNode* left = root->left;
TreeNode* right = root->right;
// 3 drill down
res.push_back(root->val);
helper(left, res);
helper(right, res);
// 4 reverse the current level status if needed
}
};
可见，按照模板写出的代码，条理更加清晰，并且还可简化代码（无需两次判断子节点的根节点是否为NULL，即原代码中2和3可以合并）。
注意：一定要养成机械化的记忆。一遇到递归问题，这4四部分啪啪啪的写出来。
实战题目
\70. 爬楼梯
\22. 括号生成
\226. 翻转二叉树
\98. 验证二叉搜索树
\104. 二叉树的最大深度
\111. 二叉树的最小深度
\297. 二叉树的序列化与反序列化
\236. 二叉树的最近公共祖先
\105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树
\77. 组合
\46. 全排列
\47. 全排列 II