Codeforces Round #513 by Barcelona Bootcamp (rated, Div. 1 + Div. 2)部分题解

Codeforces Round #513 by Barcelona Bootcamp (rated, Div. 1 + Div. 2)ABCD题题解

前言

话说CF的比赛在下午真的是千年难遇，所以我和几个同学组团，去打了CF，还创了一个流毒的群：

考试的样例解释彻底把我带偏了。。。导致我半个多小时耗在B题。。。。

做C题时，某位大佬乱说了一句滑窗，导致我卡了一个多小时QAQ。。。。。

但是我虽然回了一点rating，我还是绿的QAQ。。。

A. Phone Numbers

◇题目传送门◆

题目大意

给定$N$个一位整数，要求用这些数组成形如8xxxxxxxxx的数，其中x代表任意一位整数。求最多能组成的数的组数。

思路

仔细分析题目不难发现，组数只和数字8的个数与$\lfloor \frac{N}{11}\rfloor$有关，所以不难得出正解。

正解代码

#include
#include
using namespace std;

const int Maxn=100;

int N;
char s[Maxn+5];

int main() {
	#ifdef LOACL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	scanf("%d\n",&N);
	scanf("%s",s+1);
	int sum8,sum;
	sum8=sum=0;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		if(s[i]=='8')sum8++;
	printf("%d\n",min(sum8,N/11));
	return 0;
}

B. Maximum Sum of Digits

◇题目传送门◆

题目大意

给定一个数$N$，要求将这个数拆成$a+b$的形式，使得$a,b$两数每个数位上的数和最大。

思路

很明显的贪心题（注意千万不要看样例解释我就是这样被坑了）。

注意到若我们将一个数拆出的9越多，和越大。所以我们可以将$N$拆成$99\dots 9$的形式，就可以保证数位和最大。

正解代码

#include
#include
using namespace std;

long long N,a,b;

int S(long long x) {
	int ret=0;
	while(x) {
		ret+=(x%10);
		x/=10;
	}
	return ret;
}
int main() {
	#ifdef LOACL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	scanf("%lld",&N);
	long long t=N/10;
	a=1;
	while(t) {
		a*=10;
		t/=10;
	}
	if(a%2==0)a--;
	b=N-a;
	printf("%d\n",S(a)+S(b));
	return 0;
}

C. Maximum Subrectangle

◇题目传送门◆

题目大意

给定两个长度分别为$N,M$的两个数列$A,B$及一个数$X$，定义矩阵$C$，其中$C_{i,j}=A_i\times B_j(1\le i\le N,1\le j\le M)$，要求找出最大的矩形，使得$$\sum _{i=x_1}^{x_2}\sum _{j=y_1}^{y_2}{C}_{i,j}\le X$$

思路

如有读者想了解$O(N^2)$算法请点这里

我们先来推一下式子：
$$\begin{gathered} \sum _{i=x_1}^{x_2}\sum _{j=y_1}^{y_2}{C}_{i,j}=\sum _{i=x_1}^{x_2}\sum _{j=y_1}^{y_2}(A_i\times B_j) \\ =\sum _{i=x_1}^{x_2}{A}_i\times \sum _{i=y_1}^{y_2}{B}_j \end{gathered}$$

不难发现这个题就转换为了在$A,B$中分别选出一个长度最长的区间，使得他们的和的乘积不不超过$X$。

所以我们就可以先将$B$序列中所有情况计算出来保存。再枚举$A$的所有情况，并在已求得的数列上进行二分，就可以愉快地得出了答案。

然而。。我居然T了。。。

然后，我请了对面的大佬帮我调，他给了我一些调整：（以下两段引自Lucky_Glass的赛后总结）

可能出现有多个子串的元素之和相同的情况，我们默认对于两个元素之和相等的子串，取长度更大的那一个（实现时不需要这么做）。换句话说，我们通过限制元素之和求出长度（即限制子串的元素之和不超过某值，求出最大长度），这样的话很容易证明，随着限制的元素之和上升，子串的最大长度也应呈现出不降趋势。按理论，将每个子串按元素之和升序排列，最大长度也应该是不降序。

注意到我们这里只是将子串的元素之和存下来了，也就是只将元素之和与最大长度一一对应，并不是求不超过某元素之和的最大长度，所以很容易出现两个子串，一个的元素之和大于另一个，但长度却小于另一个。这是我打表发现的……如何解决？我们知道上述结论是正确的，那么在按元素之和排序后，再从头到尾遍历所有子串，并将第i个子串的长度强制与第i-1个子串的长度取 max ，这样对于一个子串变量，它所表示的就是不超过它的元素之和的子串的长度的最大值。这样就是真正的非降序了。

但是由于某些细节原因，我在考试的时候被一个别人hack别人的数据hack了。QAQ。。。

正解代码

#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn=2000;

ll N,M,X,A[Maxn+5],B[Maxn+5];
ll suma[Maxn+5],sumb[Maxn+5];
struct Node {
	ll sum;
	ll len;
	bool operator < (const Node rhs)const {
		return sum<rhs.sum;
	}
}S[Maxn*Maxn+5];

int main() {
	#ifdef LOACL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	scanf("%d %d",&N,&M);
	for(int i=1;i<=N;i++) {
		scanf("%d",&A[i]);
		suma[i]=suma[i-1]+A[i];
	}
	for(int i=1;i<=M;i++) {
		scanf("%d",&B[i]);
		sumb[i]=sumb[i-1]+B[i];
	}
	scanf("%d",&X);
	int sz=0;
	for(int i=1;i<=M;i++)
		for(int j=i;j<=M;j++) {
			S[sz].len=j-i+1;
			S[sz].sum=sumb[j]-sumb[i-1];
			sz++;
		}
	sort(S,S+sz);
	for(int i=1;i<sz;i++)
		S[i].len=max(S[i-1].len,S[i].len);
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		for(int j=i;j<=N;j++) {
			ll ts=suma[j]-suma[i-1];
			ll lim=X/ts;
			if(!lim) continue;
			ll lb=0,ub=sz-1;
			while(lb+1<ub) {
				ll mid=(lb+ub)/2;
				if(S[mid].sum<=lim)
					lb=mid;
				else ub=mid;
			}
			if(S[lb].sum>lim) continue;
			if(S[ub].sum<=lim) lb=ub;
			ans=max(ans,1LL*S[lb].len*(j-i+1));
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

D. Social Circles

◇题目传送门◆

题目大意

有$N$个人坐在一圈，每个人必须使他的左边空出$l_i$个椅子，右边空出$r_i$个椅子。注意当只有一个人时，也必须满足这个要求。

思路

这题是考试时听另外的大佬讲的，AC非常愉快（￣︶￣）↗　。

大体思路如下：

首先我们要求总座位数最少，所以我们可以考虑使一个$l_i$尽量大的人和$r_i$尽量大的人坐在一起。

记$s={\sum }_{i=1}^n{l}_i+r_i$。假设有两个人$i,j$，$j$坐在$i$的左边，则他们可以共用的空位有$\min (l_i,r_j)$，这样就会减少$\min (l_i,r_j)$的位置。所以将$l_i,r_i$排序之后，分别用$s$减掉对应位置上的值即可得出答案。

注意答案要加上$N$(这些人也会占位置)。

备注：这个思路我暂时找不到正确性证明，如有能够证明此结论的，请在评论区留言。

正解代码

#include
#include
#include
using namespace std;

const int Maxn=1e5;

int N;
int A[Maxn+5],B[Maxn+5];
long long ans=0;

int main() {
	#ifdef LOACL
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	scanf("%d",&N);
	for(int i=1;i<=N;i++) {
		scanf("%d %d",&A[i],&B[i]);
		ans+=A[i]+B[i];
	}
	sort(A+1,A+N+1),sort(B+1,B+N+1);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		ans-=min(A[i],B[i]);
	printf("%lld\n",ans+N);
	return 0;
}