13.背包问题（完全背包，0/1背包）
上算法课的时候学到了背包问题。嗯，又是熟悉的配方，今天来复习一下。
一、完全背包问题：
问题：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
和之前做过的LeetCode322,零钱兑换（https://blog.csdn.net/qq_40636117/article/details/80941638）很像，
只不过那题要求用最少数量的硬币来找零，而完全背包问题求的是价值总和最大。
不过思路还是一样的：设容量为n时容纳最大价值为dp[n]
背包容量价值=某物品价值+剩下空间容纳最大价值。
如果背包容量为n,那么 dp[n] = v[i]+dp[n-w[i]]
满足上述条件的i肯定不止一个，找出所有的i,计算v[i]+dp[n-w[i]]的最大值即可
例题分析
物品编号 0 1 2 3
重量w 7 4 3 2
价值v 9 5 3 1
求背包容量=7时，背包容纳的最大价值
1.容量=0：毛都装不下，∴dp[0];
2.容量=1：还是毛都装不下，∴dp[1]=0;
3.容量=2：
（1）∵2=w[2]+0,∴方案1=v[2]+dp[0]=1
只有一种方案，∴dp[2]=方案1=1；
4.容量=3：
（1）∵3=w[3]+1,∴方案1=v[2]+dp[1]=1
（2）∵3=w[2]+0,∴方案2=v[2]+dp[0]=3
dp[3]=max(方案1，方案2）=3
5.容量=4：
（1）∵4=w[1]+0,∴方案1=v[1]+dp[0]=5
（2）∵4=w[2]+1,∴方案2=v[2]+dp[1]=3
（3）∵4=w[3]+2,∴方案3=v[3]+dp[2]=2
dp[4]=max(方案1,2,3）=5
6.容量=5：
（1）∵5=w[1]+1,∴方案1=v[1]+dp[1]=5
（2）∵5=w[2]+2,∴方案2=v[2]+dp[2]=4
（3）∵5=w[3]+3,∴方案3=v[3]+dp[3]=4
dp[5]=max(方案1,2,3）=5
7.容量=6：
（1）∵6=w[1]+2,∴方案1=v[1]+dp[2]=6
（2）∵6=w[2]+3,∴方案2=v[2]+dp[3]=6
（3）∵6=w[3]+4,∴方案3=v[3]+dp[4]=6
dp[6]=max(方案1,2,3)=6
8.容量=7：
（1）∵7=w[0]+0,∴方案1=v[0]+dp[0]=9
（2）∵7=w[1]+3,∴方案2=v[1]+dp[3]=8
（3）∵7=w[2]+4,∴方案3=v[2]+dp[4]=8
（4）∵7=w[3]+5,∴方案4=v[3]+dp[5]=6
dp[7]=max(方案1,2,3,4)=9
由上面一波分析，即可求出背包容量=7时，最多容纳dp[7]=9价值的物品
代码
//完全背包问题（物品无穷）
static int KnapSack1(int w[],int v[],int sp){
int dp[]=new int[sp+1];
dp[0]=0;
for(int i=1;i=0){
if(MaxVal < dp[i-w[j]]+v[j] ){
MaxVal = dp[i-w[j]]+v[j];
}
}
}
dp[i]=MaxVal;
}
return dp[sp];
} 二、0/1背包问题
问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
这题和前面大体一致，不同的是每个物品只能拿一个（所以称为0/1背包问题）。
这题比上面的题目更加复杂，主要表现在物品只能拿一次，所以还得给物品做去重复的判断。
很自然，我们可以开一个二维的数组进行辅助标记，用来标识物品是否被使用过。不过这种做法很不动态规划。
我想起做LeetCode518,零钱兑换Ⅱ（https://blog.csdn.net/qq_40636117/article/details/85219168）时也遇到了相同的问题，题目求的是找钱的方案，也要去掉重复。当时通过对硬币和找零都做动态规划，使得方案防止了重复。
回到这个问题，我们先把物品0装进去，计算容量0~m时，背包容纳的最大价值；
然后把物品1装入，同样求出容量0~m时，背包容纳最大价值。。。
假设当前装入n号物品g[n]，且容纳空间为m：
①w[n]>m：物品无法被装入，物品m不会对之前的状态产生影响，∴dp[n][m]=dp[n-1][m]
②w[n]<=m：说明能装入物品。这时可以像完全背包问题时那样分析了：
装入g[n]前最大价值为 dp[n-1][m],
装入g[n]后最大价值为 dp[n-1][m-w[n]]+v[n],比较两者大小即可
（装入g[n]的意思是先从背包里倒出一些东西，腾出w[n]大小的空间，然后再把w[n]装进去）
∴dp[n][m]=max(dp[n-1][m],dp[n-1][m-w[n]]+v[n])
要注意的是g[0]这种情况，因为如果用上面方法的话会出现dp[0-1][m]的情况，对于此要进行特殊判断
例题：
物品g 0 1 2 3
重量w 2 2 4 1
价值v 2 3 9 2
每个物品只能拿一次，求容量为5时背包容纳物品最大价值
dp[0] dp[1] dp[2] dp[3] dp[4] dp[5]
g[0] 0 0 2 2 2 2
g[1] 0 0 3 3 5 5
g[2] 0 0 3 3 9 9
g[3] 0 2 3 5 9 11
代码：
//01背包问题（物品不重复）
static int KnapSack2(int w[],int v[],int sp){
int dp[][]=new int[w.length][sp+1];
for(int i=0;i0){//一般情况：物品0~物品n
if(j=w[i]){
dp[i][j]=v[0];
}
}
}
}
return dp[w.length-1][sp];
}