试题 历届试题 包子凑数(dp)

试题 历届试题 包子凑数

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0x00 问题描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。
输入格式
　　第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)
输出格式
　　一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。
样例输入

2
4
5

样例输出

6

样例输入

2
4
6

样例输出

INF

样例说明
　　对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
　　对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。
数据规模和约定
　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 1000ms
　　请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

0x01思路

这题和之前做过的题目：买不到的数目 可以说是一种类型的题目。
（做题目就是那么奇妙，感觉这题不就是之前做过的题目原题吗？
问法不一样了而已。所以，秒A了这题~）

情况1：凑不出的数目为无限多个

对于INF的情况，由做买不到的数目时的经验可知：
当所有的ai的gcd不为1时，凑不出的数目有无限多个。（做题经验很有用哈~，具体证明我就…）

情况2：凑不出的数目为有限多个

定义状态dp[i]为i是否可以由已知的数 拼凑到：
dp[i] = 1:表示可以；
dp[i] = 0:表示不可以；

用a[]保存已知的数，

那么对于一个数 i:
它可能由:(i-a[j])+a[j]得到，并且此时i > a[j]；
边界：dp[a[j]] = 1；
即的到状态转移方程： dp[i] = dp[i] || dp[i-a[j]],i > a[j]

然后只需要只需外层枚举i,内层枚举a[j]即可。

现在和上面提到的题目买不到的数目 有相同的问题，就是确定i的上界：

为了快速AC,我没有深入思考上界具体是多少,

直接根据做题经验，根据题目数据范围:N,ai <= 100，只有两层循环，内层极端是100，所以可以估计 外层i 不会超过1e4。
（我是按计算不超过1e6粗略估计的，当然可以适当再大一点点。。）

事实证明我估计的还是能够水过测试数据~

i的上界具体为多少？

我AC后，也有思考并且测试：

1. lcm(a[i])
2. lcm(a[i]) - sum(a[i])

这两种是我的猜测，但是测试后并不对。

所以我暂且将此题告落。

ps : 如果有幸让大佬看到这篇博客，并且知道 i的上界具体值的确定方法，可以给我留言哦，谢了~

0x02代码

#include 
const int N = 1e6+2;
const int MAX = 1e3+5;
using namespace std;
int a[MAX];
int dp[N];
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin>>a[i];
        dp[a[i]] = 1;
    }
    int tmp = gcd(a[1],a[2]);
    for(int i = 3; i <= n; ++i)
    {
        tmp = gcd(tmp,a[i]);
    }
    if(tmp != 1)
    {
        cout<<"INF"<<endl;
    }
    else
    {
        for(int i = 1; i <= 1e4; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                if(dp[i]) break;
                if(i > a[j])
                    dp[i] = dp[i] || dp[i-a[j]];
            }

        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= 1e4; ++i)
        {
            //if(!dp[i]) cout<
            ans += !dp[i];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}