哈夫曼树及哈夫曼编码

哈夫曼树

由n个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树。
又叫最优二叉树。
树的带权路径长度: 树中所有叶子结点的带权路径之和

构造哈夫曼树

因为每次都选两个权值最小的结点构造下一个，所以没有度为1的结点

步骤：

• 初始化：根据给定的n个权值 ，构造n棵只有一个根结点的二叉树， n个权值分别是这些二叉树根结点的权。
• 找最小树：在F中选取两棵根结点树值最小的树作为左、右子树，构造一颗新的二叉树，置新二叉树根的权值为左、右子树根结点权值之和；
• 删除与加入：从F中删除这两颗树，并将新树加入F；
• 判断：重复 2) 和3)，直到F中只含一颗树为止，此时得到的这颗二叉树就是哈夫曼树。

例题：有数据为{ 22，10，46，17，13，110，20，15，34 }试构造一棵哈夫曼（Huffman树）,并计算WPL。

带权路径长为：WPL = 110+（34+46）*3+（20+22）*4+（10+13+15+17）*5 = 110+240+168+275 = 793

哈夫曼编码

对一棵具有n个叶子的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋予0，右分支赋予1，则从根到每个叶子的通路上，各分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。
【注意】哈夫曼编码是最优前缀码。

例题：字符串“alibaba”用哈夫曼编码来编码，则共有多少位？

由图示分析可知：共有13位。

例题：用二进制来编码字符串“abcdabaa”，需要能够根据编码，解码回原来的字符串，最少需要多长的二进制字符串？

根据字符串构造哈夫曼树以及求哈夫曼编码的步骤：

• 计算每个字符出现的次数
• 根据次数构造哈夫曼树
• 求出字符对应的编码，构成哈夫曼编码