§8.2 偏导数
一、偏导数定义、计算法及几何意义
1、定义
由于多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。本节,我们以二元函数为例,考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率的问题。
若只有自变量变化,而自变量固定(即看作常量),这时,就成了一元函数,这个函数对于的导数,就称之为二元函数对于的偏导数。
【定义】设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在,而在处有增量时,相应地函数有增量
如果极限
存在,则称此极限为函数在点处对的偏导数,并记作
类似地,函数在点处对的偏导数定义为
如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在,那未这个偏导数就是的函数,称它为函数对自变量的偏导函数,记作 。
类似地,可以定义函数对自变量的偏导函数,并记作
由偏导函数概念可知,在点处对的偏导数,其实就是偏导函数在点处的函数值;就是偏导函数在点处的函数值。
在不产生混淆的情况下,我们以后把偏导函数也简称为偏导数。
2、计算法
求的偏导数,并不需要新的方法,因为这里只有一个自变量在变化,另一自变量被看成是固定的,所以仍然是一元函数的导数。
求时,把看作常量,而对求导数;
求时,把看作常量,而对求导数。
显然,偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形。
例如,三元函数在点处对的偏导数是如下极限
【例1】求在点处的偏导数。
【解法二】 ,
则
注:求多元函数在某点处的偏导数时,解法二有时会方便一些。
【例2】设 ( , ,为任意实数 )
【例3】已知理想气体的状态方程为( 为常量 ),
注:偏导数的记号应看作一个整体性的符号(不能看成商的形式),这与一元函数导数可看作函数微分与自变量微分之商是有区别的。
3、几何意义
同样,偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。
4、二元函数的偏导数与连续性之间的关系
一元函数在某点可导,则函数在该点一定连续;若函数在某点不连续,则函数在该点一定不可导。对于二元函数来说,情况就不同了。
二元函数在点处的偏导数、,仅仅是函数沿两个特殊方向( 平行于轴、轴 )的变化率;而函数在点连续,则要求点沿任何方式趋近于点时,函数值趋近于,它反映的是函数在点处的一种“全面”的性态。
因此,二元函数在某点偏导数与函数在该点的连续性之间没有联系。
【反例一】讨论函数
在点处的偏导数与连续性。
函数沿过原点的直线趋近于原点时,其极限值与参数有关,故二重极限不存在,函数在原点自然是不连续的。
函数关于自变量是对称的,故
此例表明,二元函数在一点不连续,但其偏导数却存在。
【反例二】讨论函数
在点处的偏导数与连续性。
据对称性,也不存在。
此例表明,二元函数在一点连续,但在该点的偏导数不存在。
在几何上,曲面可看成是折线绕轴旋转而成的锥面,点是曲面的尖点。
二、高阶偏导数
设函数在区域内具有偏导数
于是,在内、均是的函数,若这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二阶偏导数。
按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数
其中:称、为二阶混合偏导数,类似地,可得到三阶、四阶和更高阶的导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
对于二阶偏导数的符号,有必要引入如下简洁记法:
在不特别需要写出函数自变量时,二阶偏导数的符号还可简单的记成
【例4】求函数的二阶偏导数。
此例中的两个二阶混合偏导数相等,即,这并不是某种偶然的巧合,其实,我们有如下定理。
【定理】如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续,那未在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
这一结论表明,有二阶混合偏导数连续的条件下,它与求导次序无关。
对于二元以上的函数,我们可类似地定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。
必须指出,定理中所要求的条件连续是必要的,改变这一条件,定理的结论不真。
【例5】证明函数
在原点处的两个二阶混合偏导数存在,但不相等。
证明:当时,
当时,
即
注意到,将函数中的变量与对调,函数却改变符号,于是有
这里 , 显然,两个一阶偏导函数在原点是不连续的。
由于函数关于自变量是对称的,因此