高等数学:第八章 多元函数的微分法及其应用(2)偏导数

§8.2  偏导数

一、偏导数定义、计算法及几何意义

1、定义

由于多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。本节,我们以二元函数为例,考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率的问题。

若只有自变量变化,而自变量固定(即看作常量),这时,就成了一元函数,这个函数对于的导数,就称之为二元函数对于的偏导数。

【定义】设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在,而处有增量时,相应地函数有增量

如果极限

存在,则称此极限为函数在点处对偏导数,并记作

                  (1)

类似地,函数在点处对的偏导数定义为

如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在,那未这个偏导数就是的函数,称它为函数对自变量偏导函数,记作

类似地,可以定义函数对自变量的偏导函数,并记作

由偏导函数概念可知,在点处对的偏导数,其实就是偏导函数在点处的函数值;就是偏导函数在点处的函数值。

在不产生混淆的情况下,我们以后把偏导函数也简称为偏导数。

2、计算法

的偏导数,并不需要新的方法,因为这里只有一个自变量在变化,另一自变量被看成是固定的,所以仍然是一元函数的导数。

时,把看作常量,而对求导数;

时,把看作常量,而对求导数。

显然,偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形。

例如,三元函数在点处对的偏导数是如下极限

【例1】求在点处的偏导数。

解法一】 

则   , 

【解法二】 

注:求多元函数在某点处的偏导数时,解法二有时会方便一些。

【例2】设  ( , ,为任意实数 )

求证:

证明:

【例3】已知理想气体的状态方程为( 为常量 ),

求证:

证明:

注:偏导数的记号应看作一个整体性的符号(不能看成商的形式),这与一元函数导数可看作函数微分与自变量微分之商是有区别的。

3、几何意义

高等数学:第八章 多元函数的微分法及其应用(2)偏导数_第1张图片

同样,偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。

4、二元函数的偏导数与连续性之间的关系

一元函数在某点可导,则函数在该点一定连续;若函数在某点不连续,则函数在该点一定不可导。对于二元函数来说,情况就不同了。

二元函数在点处的偏导数,仅仅是函数沿两个特殊方向( 平行于轴、轴 )的变化率;而函数在点连续,则要求点沿任何方式趋近于点时,函数值趋近于,它反映的是函数点处的一种“全面”的性态。

因此,二元函数在某点偏导数与函数在该点的连续性之间没有联系。

【反例一】讨论函数

在点处的偏导数与连续性。

解:

函数沿过原点的直线趋近于原点时,其极限值与参数有关,故二重极限不存在,函数在原点自然是不连续的。

函数关于自变量是对称的,故

此例表明,二元函数在一点不连续,但其偏导数却存在。 

【反例二】讨论函数

在点处的偏导数与连续性。

解:显然,,函数在原点连续。

不存在,

据对称性,也不存在。

此例表明,二元函数在一点连续,但在该点的偏导数不存在

在几何上,曲面可看成是折线轴旋转而成的锥面,点是曲面的尖点

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二、高阶偏导数

设函数在区域内具有偏导数

于是,在均是的函数,若这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二阶偏导数

按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数

其中:称二阶混合偏导数,类似地,可得到三阶、四阶和更高阶的导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

对于二阶偏导数的符号,有必要引入如下简洁记法:

在不特别需要写出函数自变量时,二阶偏导数的符号还可简单的记成

【例4】求函数的二阶偏导数。

解:

此例中的两个二阶混合偏导数相等,即,这并不是某种偶然的巧合,其实,我们有如下定理。

【定理】如果函数的两个二阶混合偏导数在区域内连续,那未在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

这一结论表明,有二阶混合偏导数连续的条件下,它与求导次序无关。

对于二元以上的函数,我们可类似地定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

必须指出,定理中所要求的条件连续是必要的,改变这一条件,定理的结论不真。

【例5】证明函数

在原点处的两个二阶混合偏导数存在,但不相等。

证明:当时,

 

时,

从而 

注意到,将函数中的变量对调,函数却改变符号,于是有

这里 ,  显然,两个一阶偏导函数在原点是不连续的。

 

【例6】证明函数 (这里 )满足拉普拉斯方程

证明

由于函数关于自变量是对称的,因此

,   

故 

 

 

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