博弈论 SG函数 SG定理
2018.7
本来这篇博客叫《博弈论入门》，但写完后发现好像没东西了……
SG函数
一个公平游戏（impartial game)可以抽象为：在一个DAG上有一枚棋子，两人轮流移动它，不能移动者输。
SG函数的定义如下。没有出度的点的SG值为0，其它点的SG值为它的后继的SG值的mex。即 S G ( u ) = m e x { S G ( v ) } , u → v SG(u)=\mathrm{mex}\{SG(v)\},u\rightarrow v SG(u)=mex{SG(v)},u→v。
在SG值为0的点上，先手必败，而在其它点上先手必胜。
数据规模较大时，一般来说，可以通过打表找到SG函数的通项。
其它时候可以递推求。求mex用Trie树上的跳法。
SG定理
在多个DAG上进行上述游戏操作，每次可以移动一个DAG上的棋子。设当前状态为每个DAG上棋子所在位置的集合 { p 1 , p 2 , . . . } \{p_1,p_2,...\} {p1,p2,...}，则 S G ( { p 1 , p 2 , . . . } ) = S G ( p 1 ) ⊕ S G ( p 2 ) ⊕ . . . SG(\{p_1,p_2,...\})=SG(p_1)\oplus SG(p_2)\oplus ... SG({p1,p2,...})=SG(p1)⊕SG(p2)⊕...。
Tartan定理
描述组合游戏在多个维度上的合并。
Nim和在01状态且决策互相影响游戏上的特殊性
给定一个棋盘，每个格子有黑白两个状态。每次操作只能针对黑色格子，会对某些格子取反。由于Nim和的性质，可以证明一个格子的SG值是它所影响的格子的游戏的合并。即无需考虑是否会统计到白色格子。
如： S G ( i ) ← m e x e a c h t r a n s f e r e n c e k i n d { X O R { S G ( e a c h s t a t e k i n d e r ) } } SG(i)\leftarrow\mathrm{mex}_{eachtransferencekind}\{XOR\{SG(eachstatekinder)\}\} SG(i)←mexeachtransferencekind{XOR{SG(eachstatekinder)}}
引理 一个局面的SG值为对于当前局面上的每个黑色格子，只有这个格子是黑色时的SG值的 m e x \mathrm{mex} mex。（clre ti Gume Gun, Paduo Puo Pangume.)
无向图删边游戏
给定一个无向图，有一中心点，两人轮流操作，每次可切断一条中心点所在联通块内的一条边，先不能操作者输。
Fusion Principle定理说明：在无向图删边游戏中，将一个环上的所有边变为环上的一个点上的相同数量的自环后，图的SG值不变。
picture from Game Theory, Qin Yue, Tsinghua Univ. 注：最下面的虚线即为中心点
缩点后做树形删边游戏即可。
SJ定理
** 反公平游戏（Anti-SG Game） ** 描述为：DAG上没有出度的点为胜利状态，其它定义与一般游戏相同。现在的问题是解决多个反公平游戏的合并。
SJ定理说明：先手必胜，当且仅当以下两个条件同时成立或同时不成立：
1.合并的SG值为0；
2.所有游戏的SG值不超过1。
其它经典模型
有向图公平游戏
在有向图上进行经典游戏。
先算出可计算的SG函数，最后不能计算的点是平局点。
欧几里得的游戏
给定 a 、 b a、b a、b，每次对一个数删去另一个数的若干倍，有一个数为0时失败。
若 a ≥ 2 b a\ge 2b a≥2b，则先手必胜。否则递归处理。
擦数游戏
有数1~n，每次选一个数划去它的所有约数，没有数则失败。
先手必胜。
階梯博弈
以0为地面，1~n为逐渐升高的台阶，每个台阶上有若干石子。每人每次将一个台阶上的若干石子移到比它低的台阶。
当且仅当所有奇数台阶上的式子异或和不为0时，先手必胜。
阶梯博弈推广 “每个格子有黑白两种状态，每次选择某白色格子可确定的格子翻转，不能操作者输”与这个游戏等价：每个格子有黑白两种状态，每次选择某格子可确定的格子翻转，将所有格子都变为黑色的人赢。
全体博弈
给定多个DAG，每人每次须操作所有还能操作的DAG，全都不能操作的人输。
显然最优策略是使必胜的DAG操作时间尽量长，必败的DAG操作时间尽量短。于是在DAG上计算 s t e p ( u ) step(u) step(u)表示从这个点需要最多/最少多少步才能结束。则获胜条件是DAG中 s t e p ( ) step() step()的最大值最大的必胜DAG的 s t e p ( ) step() step()为奇数。
无向点地理问题（Undirected vertex geography problem）
在一个无向二分图上进行轮流移动棋子游戏，不能经过重复的点。
广义地理（generalized geography）是一个典型的完全P空间（PSPACE-Complete）问题。
当且仅当棋子在所有最大匹配上时，先手必胜。
from LOJ536
2019.3.6 一个点在所有最大匹配上的条件：S到这个点有流量，且它不属于源点割集。
K-Nim问题
给定 n n n堆石子，每次可以选不超过 k k k堆石子，每堆取任意个。
二进制上每一位的每堆石子个数的和都为 k + 1 k+1 k+1的倍数时先手必败，否则先手必胜。
Mekoimciavom CSDN. Wisonilakijavinmo CSDN.
练习题
Lasker的游戏
有n堆石子，每次可以选一堆石子中取出一些石子或分成两堆石子。没有石子则失败。
SG(i)表示i个石子的SG值，打表发现SG函数形如1，2，4，3，5，6，8，7，9，10，12，11，……。按SG定理合并即可。