莫比乌斯反演与杜教筛

莫比乌斯反演

我们知道积性函数可以迪雷克卷积
我们知道F(x)=Σd|xf(d)
要求f(x)
两面卷上一个μ
得 $$F\ast \mu =f\ast 1\ast \mu$$
得 $$F\ast \mu =f\ast (1\ast \mu )$$
得 $$F\ast \mu =f\ast e$$
得$$F\ast \mu =f$$
也就是$$f=\Sigma d|x\mu (x/d)f(d)$$
其实就是应为简单的迪雷克卷积

而我们用的最多的就是$$e(x)=[x==1]$$了
也就是$$\Sigma d|x\mu (x/d)$$这个东西

杜教筛

我们需要求f(x)的前缀和F(x)
然而 n 有时达到 100000000
O(n) 就不可做了
我们需要一个O(n^3/4)的做法—杜教筛
我们找一个函数g(x)与f(x)的迪雷克卷积的前缀和很好求
则$$f\ast g(n)=\Sigma d|nf(d)\ast g(n/d)$$
然后 $$\Sigma i=1nf\ast g(i)=\Sigma i=1n\Sigma d|if(i/d)\ast g(d)$$
然后先枚举d $$\Sigma i=1nf\ast g(i)=\Sigma d=1ng(d)\ast \Sigma d|if(i/d)$$
然后 $$\Sigma i=1nf\ast g(i)=\Sigma d=1ng(d)\ast \Sigma i=1n/df(i)$$
然后 $$\Sigma i=1nf\ast g(i)=\Sigma d=1ng(d)\ast F(n/d)$$
得 $$\Sigma i=1nf\ast g(i)=g(1)\ast F(n)+\Sigma d=2ng(d)\ast F(n/d)$$
移项,得 $$g(1)\ast F(n)=\Sigma i=1nf\ast g(i)-\Sigma d=2ng(d)\ast F(n/d)$$
然后(n/d)这个东西就可以除法分块了