算法笔记——数学相关
算法笔记——数学相关
- 高精度
- 乘法逆元
- 排列组合
- 二项式定理
- 质数的判定和应用
- 约数
- 拓展欧几里得
- 大步小步算法（BSGS）
- 拓展大步小步算法
- 快速乘和快速幂
- 矩阵相关
- 欧拉函数
- 欧拉定理及费马小定理
- 中国剩余定理
- 拓展中国剩余定理
- 卢卡斯定理
- 拓展卢卡斯定理
- 狄利克雷卷积
- 莫比乌斯函数
- 莫比乌斯反演
- 杜教筛
- 快速傅里叶变换（FFT）
- 快速数论变换（NTT）
- *斯特林数相关算法
个人算法笔记：戳我qwq
高精度
- 核心思想：字符串模拟数组，实现大整数（大于long long的范围）运算。
- 应用范围：
1. l o n g l o n g long long longlong存不下 Q A Q QAQ QAQ；
2.模拟运算（高精度本来就是模拟）；
- 读入：
void init(int a[])
{
string s;
cin>>s;
a[0]=s.lenth();
for(int i=1;i<=a[0];++i)
a[i]=s[a[0]-i]-'0';
}
- 进位，借位处理
加法进位：
c[i]=a[i]+b[i];
if(c[i]>=10)
{
c[i]%=10;
++c[i+1];
}
减法借位：
if(a[i]<b[i])
{
--a[i+1];
a[i]+=10;
}
c[i]=a[i]-b[i];
乘法进位：
c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];
x=c[i+j-1]/10;
c[i+j-1]%=10;
商和余数：视情况而定
- 代码
高精度加法（模板：A+B problem 高精）
#include高精度减法（模板：高精度减法）
#include高精度乘法（模板：A*B problem）
#include高精度除法（高精除以低精）（模板：A/B problem）
#include高精度除法（高精除以高精）（模板：A/B problem II）
#include乘法逆元
- 概念
联系小学学过的倒数， x ∗ 1 x = 1 x*\frac{1}{x}=1 x∗x1=1，在 c + + c++ c++中如果贸然直接除以 x x x，可能会出问题。然而如果对于一个数 x x x，若存在另一个数 x − 1 x^{-1} x−1，使 x ∗ x − 1 x*x^{-1} x∗x−1模上一个数 m o d mod mod等于1，那么这个数 x − 1 x^{-1} x−1就是 x x x的逆元。
- 求法
1.递推法： i n v [ i ] = − ( p / i ) ∗ i n v [ p m o d i ] inv[i]=-(p/i)*inv[p mod i] inv[i]=−(p/i)∗inv[pmodi](p是模数)
2.拓展欧几里得法：
先预处理一遍阶乘，求 i i i得逆元即对 i i i的阶乘做一遍拓展欧几里得；
- 应用：
1.逆元求组合数；
2.优雅地除以一个数（化除为乘）；
- 代码
1.递推法:
#includeinv;
int n,p;
long long inv[M+5];
void niyuan(int n,int p)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
inv[i]=-p/i*inv[p%i];
while(inv[i]<0)
inv[i]+=p;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&p);
inv[1]=1;
niyuan(n,p);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%I64d\n",inv[i]);
return 0;
}
2.拓展欧几里得法：
预处理阶乘：
a[0]=1
for(int i=1;i<=n+m;i++)
a[i]=a[i-1]*i%mod;//前缀积
求逆元：
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return;
}
ll xx,yy;
exgcd(b,a%b,xx,yy);
x=yy;
y=xx-(a/b)*yy;
}
ll inv(ll sum)
{
ll x,y;
exgcd(sum,mod,x,y);
x=(x%mod+mod)%mod;
return x;
}//求逆元,sum为a[i]
3.快速幂求逆元：
主函数内：
ans=inv(i,mod-2);
求逆元：
int inv(int x,int y)
{
int ans=1;
while(y)
{
if(y&1)ans=(ans*x)%mod;
y>>=1;
x=(x*x)%mod;
}
ans%=mod;
return ans;
}//快速幂求逆元
习题：
e m m emm emm好像逆元没有什么裸题吧，不过倒是有一道模板题：【模板】乘法逆元
还有一道神仙题（滑稽）：【模板】乘法逆元2（其实这道题与逆元没有什么关系）
排列组合
- 排列
排列的分类：
1.选排列
最普通的排列，从 m m m个数选出 n n n个数的方案数。
A m n = ( m − n ) ! A^n_m=(m-n)! Amn=(m−n)!
2.错位排列（错排）
从 m m m个数选出 n n n个数，数 n n n不能在第 n n n个位置上的方案数。
f ( n ) = ( n − 1 ) ∗ ( f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ) f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2)) f(n)=(n−1)∗(f(n−1)+f(n−2))
3.圆排列
从 n n n个数选出 r r r个数围成一个圈的方案数。
A n r / r A^r_n/r Anr/r,若 r = n r=n r=n，则有(n-1)!种。
- 组合
C m n = m ! n ! ∗ ( m − n ) ! C^n_m=\frac{m!}{n!*(m-n)!} Cmn=n!∗(m−n)!m!
模板：逆元求组合数
#include应用：
1.夹棍法；
2.求杨辉三角；
3.二项式定理；
二项式定理
应用：杨辉三角
( x + y ) m = ∑ i = 0 i ≤ m ( m i ) x i y m − i (x+y)^m=\sum^{i\leq m}_{i=0}(^i_m)x^iy^{m-i} (x+y)m=∑i=0i≤m(mi)xiym−i
质数的判定和应用
- 质数的判定方法
1.暴力枚举法：
对于一个数 x x x，从2开始枚举到 x \sqrt{x} x(一个数最多有 x \sqrt{x} x个约数)，若存在 i i i，使得 x x x% i i i=0，则 x x x为合数，否则为质数。注意特判1和2.
若求1~ n n n中的所有质数，那么该算法的复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
2.普通筛法：
假如求1~50的质数，一开始如下：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
划掉1，从2开始枚举，划掉除2以外2的质数：
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | |||||
| 31 | 33 | 35 | 37 | 39 | |||||
| 41 | 43 | 45 | 47 | 49 |
接下来，划掉除3以外3的倍数：
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 | |||||||
| 31 | 35 | 37 | |||||||
| 41 | 43 | 47 | 49 |
划掉除5以外5的倍数：
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 | ||||||||
| 31 | 37 | ||||||||
| 41 | 43 | 47 | 49 |
划掉除7以外7的倍数：
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 | ||||||||
| 31 | 37 | ||||||||
| 41 | 43 | 47 |
到这里我们就筛完了。但细心地你会发现一个问题：一个数可能会被筛多次。举个例子，6在筛2的倍数时会被筛掉，在筛3的倍数时同样会被筛掉，这样就增加了此算法的事件复杂度。有没有办法使一个合数只会被筛一次呢？
3.线性筛：
定义两个数组： m a r k [ i ] mark[i] mark[i]表示 i i i是否是质数， p r i m e [ i ] prime[i] prime[i]表示从小到大找到的质数。若 m a r k [ i ] = 0 mark[i]=0 mark[i]=0，则吧 i i i加入进质数数组里。接下来，无论 i i i是否是质数，从1开始枚举 p r i m e [ j ] prime[j] prime[j]，将 m a r k [ i ∗ p r i m e [ j ] ] mark[i*prime[j]] mark[i∗prime[j]]标记为合数，若 i i i% p r i m e [ j ] prime[j] prime[j]=0，说明 i i i是 p r i m e [ j ] prime[j] prime[j]的倍数，跳出循环，保证每一个合数只会被筛一次。
举个例子，当 i i i为4时，质数数组有2和3，枚举质数2，标记42=8为合数。因为4是2的倍数，跳出循环。假如不跳出循环，那么下一个被枚举到的合数就是43=12，而12应该在枚举6*2时筛到，多筛了一遍，增加了时间复杂度。
4.Miller-Rabin素性测试：
玄学算法。
费马小定理：若 p p p是质数，则 ∀ x p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) \forall x^{p-1}\equiv1(mod p) ∀xp−1≡1(modp)，但不是所有数只要满足 ∀ x p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) \forall x^{p-1}\equiv1(mod p) ∀xp−1≡1(modp)就是质数，所以光有这一个定理还不够;
二次探测定理：若 p p p是质数，且 ∀ x 2 ≡ 1 ( m o d p ) \forall x^2\equiv1(mod p) ∀x2≡1(modp)，则 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ≡ 0 ( m o d p ) (x+1)(x-1)\equiv0(mod p) (x+1)(x−1)≡0(modp)，也就是说 x ≡ ± 1 ( m o d p ) x\equiv\pm1(mod p) x≡±1(modp)。
Miller-Rabin的流程：
设 p p p是大于2的奇数，另 p − 1 = d ∗ 2 r p-1=d*2^r p−1=d∗2r，d为奇数；
随机选择一个 x x x，
首先判断费马小定理是否成立： x p − 1 ≡ = 1 ( m o d p ) x^{p-1}\equiv =1(mod p) xp−1≡=1(modp)；
若符合，则由二项式定理，要么 x d ≡ 1 ( m o d p ) x^d\equiv1(mod p) xd≡1(modp)，要么存在一个比 r r r小的数 i i i满足 x d ∗ 2 i ≡ − 1 ( m o d p ) x^{d*2^i}\equiv-1(mod p) xd∗2i≡−1(modp)。
单次复杂度为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)，多次随机 x x x可保证极高正确率。
- 代码
1.线性筛：
#include2.Miller-Rabin
#include- 应用
大多数时候作为一种辅助算法，帮助解题（如Pollard-Rho）。
没什么裸题，都是很简单的那种。
但是线性筛素数还可以顺带预处理除一些积性函数，如欧拉函数，莫比乌斯函数等等。
一些题（双倍经验）：
1.樱花
2.樱花
约数
- 唯一分解定理
就是分解质因数。 - 一些性质：
1.将 n n n分解质因数： n = ∏ p i r i n=\prod p_i^{r_i} n=∏piri;
2.约数个数： σ 0 ( n ) = ∏ ( 1 + r i ) \sigma_0(n)=\prod (1+r_i) σ0(n)=∏(1+ri);
3.约数和： σ 1 ( n ) = ∏ ∑ k = 0 r i p i \sigma_1(n)=\prod \sum^{r_i}_{k=0}p_i^{} σ1(n)=∏∑k=0ripi;
4.约数函数： σ t ( n ) = ∑ d ∣ n d t = ∏ ∑ k = 0 r i p i k t \sigma_t(n)=\sum_{d|n}dt=\prod \sum^{r_i}_{k=0}p_i^{kt} σt(n)=∑d∣ndt=∏∑k=0ripikt;
以上这些东西，我也看不懂。
例题：
1.[AHOI2007]密码箱（数据过水）;
2.[HAOI2007]反素数;
3.[JLOI2014]聪明的燕姿;
- 最大公因数(gcd)
最大公因数的性质：
1. g c d ( a , b ) = g c d ( a − b , b ) gcd(a,b)=gcd(a-b,b) gcd(a,b)=gcd(a−b,b);
2. g c d ( a , b ) = g c d ( a % b , b ) gcd(a,b)=gcd(a\%b,b) gcd(a,b)=gcd(a%b,b);
最大公因数的求法：
1.更相减损术；
2.欧几里得法。
代码：
#include例题：
1.NOIp2009 Hankson的趣味题
拓展欧几里得
-
应用
可求解同余方程 a x ≡ m ( m o d b ) ax\equiv m(mod b) ax≡m(modb)，以及不定方程 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)。 -
方法
1.求解同余方程：
转化为 a x = b y + m ax=by+m ax=by+m，移项 a x − b y = m ax-by=m ax−by=m，另 y = − y y=-y y=−y，转化为 a x + b y = m ax+by=m ax+by=m，但注意必须 g c d ( a , b ) ∣ m gcd(a,b)|m gcd(a,b)∣m，否则无解。
2.求解不定方程：
对于 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c，若满足 g c d ( x , y ) ∣ c gcd(x,y)|c gcd(x,y)∣c，方程有解；反之则无解。
- 步骤
斐蜀定理： a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)一定有解。
g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
在欧几里得算法的最后一步时，有 b = 0 b=0 b=0， g c d ( a , b ) = a gcd(a,b)=a gcd(a,b)=a，因为 1 ∗ a + 0 ∗ 0 = a 1*a+0*0=a 1∗a+0∗0=a，所以此时 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)有一组解 x = 1 , y = 0 x=1,y=0 x=1,y=0。
当 b ! = 0 b!=0 b!=0时，递归求解方程 b x + ( a % b ) y = g c d ( b , a % b ) bx+(a\%b)y=gcd(b,a\%b) bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)，直到 b = 0 b=0 b=0。
- 代码
#include-
应用：
求解一元二次方程或同于方程，有时也会用来求中国剩余定理和拓展中国剩余定理。 -
例题：
1.NOIP2012 同余方程；
2.青蛙的约会（怎么变蓝题了，我刚做的时候不是绿题吗 Q A Q QAQ QAQ）
大步小步算法（BSGS）
- 应用：求解高次同余方程
a x ≡ b ( m o d c ) a^x \equiv b(mod\ c) ax≡b(mod c)
其中 g c d ( a , c ) = 1 gcd(a,c)=1 gcd(a,c)=1。 - 由于我也证不来为什么算法是对的，所以我直接粘贴代码了 q w q qwq qwq：
看这篇大佬的博客吧：BSGS及扩展BSGS
#include- 例题：
1.UVA10225 Discrete Logging（模板题）；
2.【SDOI2013】随机数生成器；
a i − 1 ≡ x i + b a + 1 x 1 + a − 1 a^{i-1} \equiv \frac{x_i+\frac{b}{a+1}}{x_1+\frac{}{a-1}} ai−1≡x1+a−1xi+a+1b
其中 x i = t x_i=t xi=t;
3.【SDOI2011】计算器；
拓展大步小步算法
与普通的bsgs类似，但可以处理模数不为质数的情况。直接贴代码了：
#include快速乘和快速幂
- 应用：快速地做乘法或幂运算，多为辅助算法。
- 代码：
1.快速乘（乘法变加法）
#include2.快速幂：
#include矩阵相关
- 矩阵
这个就叫矩阵：
[ a 11 , a 12 , . . . , a 1 n a 21 , a 22 , . . . , a 2 n . . . , . . . , . . . , . . . a n 1 , a n 2 , . . . , a n n ] \left[\begin{aligned} a_{11},a_{12},...,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},...,a_{2n}\\ ...,...,...,...\\ a_{n1},a_{n2},...,a_{nn} \end{aligned}\right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11,a12,...,a1na21,a22,...,a2n...,...,...,...an1,an2,...,ann⎦⎥⎥⎥⎥⎤ - 矩阵运算
1.矩阵加减：
条件：两个矩阵长宽一样，例如
[ 1 4 2 2 0 0 ] + [ 0 0 5 7 5 0 ] = [ 1 + 0 4 + 0 2 + 5 2 + 7 0 + 5 0 + 0 ] = [ 1 4 7 9 5 0 ] \left[\begin{aligned}1\ 4\ 2\\2\ 0\ 0\end{aligned}\right]+\left[\begin{aligned}0\ 0\ 5\\7\ 5\ 0\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}1+0\ 4+0\ 2+5\\2+7\ 0+5\ 0+0\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}1\ 4\ 7\\9\ 5\ 0\end{aligned}\right] [1 4 22 0 0]+[0 0 57 5 0]=[1+0 4+0 2+52+7 0+5 0+0]=[1 4 79 5 0]
减法类似；
2.矩阵乘法：
条件：第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数相等。
[ 1 0 2 − 1 3 1 ] ∗ [ 3 1 2 1 1 0 ] = [ ( 1 ∗ 3 + 0 ∗ 2 + 2 ∗ 1 ) ( 1 ∗ 1 + 0 ∗ 1 + 2 ∗ 0 ) ( − 1 ∗ 3 + 3 ∗ 2 + 1 ∗ 1 ) ( − 1 ∗ 1 + 3 ∗ 1 + 1 ∗ 0 ) ] = [ 5 1 4 2 ] \left[\begin{aligned}1\ 0\ 2\\-1\ 3\ 1\end{aligned}\right]*\left[\begin{aligned}3\ 1\\ 2\ 1\\1\ 0\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}(1*3+0*2+2*1)\ (1*1+0*1+2*0)\\ (-1*3+3*2+1*1)\ (-1*1+3*1+1*0)\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}5\ 1\\ 4\ 2\end{aligned}\right] [1 0 2−1 3 1]∗⎣⎢⎡3 12 11 0⎦⎥⎤=[(1∗3+0∗2+2∗1) (1∗1+0∗1+2∗0)(−1∗3+3∗2+1∗1) (−1∗1+3∗1+1∗0)]=[5 14 2]
3.矩阵的幂:
[ a 11 , a 12 , . . . , a 1 n a 21 , a 22 , . . . , a 2 n . . . , . . . , . . . , . . . a n 1 , a n 2 , . . . , a n n ] 2 = [ a 11 , a 12 , . . . , a 1 n a 21 , a 22 , . . . , a 2 n . . . , . . . , . . . , . . . a n 1 , a n 2 , . . . , a n n ] ∗ [ a 11 , a 12 , . . . , a 1 n a 21 , a 22 , . . . , a 2 n . . . , . . . , . . . , . . . a n 1 , a n 2 , . . . , a n n ] \left[\begin{aligned} a_{11},a_{12},...,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},...,a_{2n}\\ ...,...,...,...\\ a_{n1},a_{n2},...,a_{nn} \end{aligned}\right]^2=\left[\begin{aligned} a_{11},a_{12},...,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},...,a_{2n}\\ ...,...,...,...\\ a_{n1},a_{n2},...,a_{nn} \end{aligned}\right]*\left[\begin{aligned} a_{11},a_{12},...,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},...,a_{2n}\\ ...,...,...,...\\ a_{n1},a_{n2},...,a_{nn} \end{aligned}\right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11,a12,...,a1na21,a22,...,a2n...,...,...,...an1,an2,...,ann⎦⎥⎥⎥⎥⎤2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11,a12,...,a1na21,a22,...,a2n...,...,...,...an1,an2,...,ann⎦⎥⎥⎥⎥⎤∗⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11,a12,...,a1na21,a22,...,a2n...,...,...,...an1,an2,...,ann⎦⎥⎥⎥⎥⎤
- 矩阵快速幂
是一种求矩阵的幂的方法，快速幂套矩阵乘法即可
#include- 矩阵加速
难点：构造矩阵
若把运算放在矩阵中，会大大提高运算效率。
举个例子：
a [ 1 ] = a [ 2 ] = a [ 3 ] = 1 a[1]=a[2]=a[3]=1 a[1]=a[2]=a[3]=1
a [ x ] = a [ x − 3 ] + a [ x − 1 ] ( x > 3 ) a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3) a[x]=a[x−3]+a[x−1](x>3)
求 a a a数列的第 n n n项对1000000007 （ 1 0 9 + 7 ） （10^9+7） （109+7）取余的值。
n n n很大，如果递推求会超时。
但是如果我们把这个模型放在矩阵中，求第二项就会变成求这个东西：
[ 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ] 2 \left[\begin{aligned}1\ 0\ 0\\0\ 1\ 0\\1\ 0\ 1 \end{aligned}\right]^2 ⎣⎢⎡1 0 00 1 01 0 1⎦⎥⎤2
求第 n n n项：
[ 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ] n \left[\begin{aligned}1\ 0\ 0\\0\ 1\ 0\\1\ 0\ 1 \end{aligned}\right]^n ⎣⎢⎡1 0 00 1 01 0 1⎦⎥⎤n
输出 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)。
代码：
#include例题：
1.【模板】矩阵加速（数列）
2.斐波那契数列
欧拉函数
- 概念：1~ x x x-1中与 x x x互质的数的个数。
- 特点：欧拉函数是积性函数。
- 代码：
1.线性求欧拉函数（求素数时顺便求）：
#include2.非线性：
#include欧拉定理及费马小定理
- 欧拉定理：若 a a a与 m m m互质，则 a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m) aφ(m)≡1(mod m);
- 拓展欧拉定理：若 r > φ ( m ) r>\varphi(m) r>φ(m)，则 a r ≡ a r m o d φ ( m ) + φ ( m ) ( m o d m ) a^r\equiv a^{r\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m) ar≡ar mod φ(m)+φ(m)(mod m);
- 费马小定理： a p − 1 ≡ 1 ( m o d q ) a^{p-1}\equiv 1(mod\ q) ap−1≡1(mod q)，其中 q q q为质数。（费马小定理是欧拉定理的特殊形式）
- 代码
欧拉定理：
#include模板题：【模板】欧拉定理
中国剩余定理
- 作用：用于求解同余方程组：
{ x ≡ b 1 ( m o d m 1 ) x ≡ b 2 ( m o d m 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . x ≡ b n ( m o d m n ) \left\{\begin{aligned}x\equiv b_1(mod\ m_1)\\x\equiv b_2(mod\ m_2)\\................\\x\equiv b_n(mod\ m_n)\end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)................x≡bn(mod mn)
其中 m 1 , m 2 , . . . , m n m_1,m_2,...,m_n m1,m2,...,mn互质。 - 代码
#include拓展中国剩余定理
- 作用
用于解同余方程组，但模数两两之间可以不互质。 - 证明
我写的博客：拓展中国剩余定理 - 代码
#include卢卡斯定理
- 作用
求 C n m % p C^m_n\%p Cnm%p( p p p为质数)的值。 - 定理：
1. C n m = C n / p m / p ∗ C n % p m % p C^m_n=C^{m/p}_{n/p}*C^{m\%p}_{n\%p} Cnm=Cn/pm/p∗Cn%pm%p
2.将 n , m n,m n,m写成 p p p进制：
C n m = C n k − 1 m k − 1 ∗ C n k − 2 m k − 2 ∗ . . . ∗ C n 0 m 0 ( m o d p ) C^m_n=C^{m_{k-1}}_{n_{k-1}}*C^{m_{k-2}}_{n_{k-2}}*...*C^{m_0}_{n_0}(mod\ p) Cnm=Cnk−1mk−1∗Cnk−2mk−2∗...∗Cn0m0(mod p) - 代码：
#include模板题：【模板】卢卡斯定理
拓展卢卡斯定理
- 作用：同卢卡斯定理，只是 p p p不一定为质数。但其实与卢卡斯定理没什么关系。
- 代码（我证不来 Q A Q QAQ QAQ）:
#include狄利克雷卷积
-
概念
定义一种运算:
h = f ⨂ g h=f\bigotimes g h=f⨂g
为：
h ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) g ( d n ) h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{d}{n}) h(n)=d∣n∑f(d)g(nd)
这就是狄利克雷卷积的一种表现形式（详情见博客：Greninja_Wu 狄利克雷卷积）。
若 f f f, g g g为积性函数，则 h h h也为积性函数。 -
应用
莫比乌斯反演。
本章完。
莫比乌斯函数
- 概念
定义：
μ ( n ) = { 0 , p 2 ∣ n ( − 1 ) r , n = p 1 ∗ p 2 ∗ . . . ∗ p r \mu(n)=\left\{\begin{aligned}0,p^2|n\\(-1)^r,n=p_1*p_2*...*p_r\end{aligned}\right. μ(n)={0,p2∣n(−1)r,n=p1∗p2∗...∗pr - 作用
常用于与约数相关的容斥。 - 求法
可以线性筛预处理（同欧拉函数）。 - 代码
#include莫比乌斯反演
- 前置定理：
1. ∑ d ∣ n μ ( d ) = [ n = 1 ] \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] d∣n∑μ(d)=[n=1]
也就是说，当 n = 1 n=1 n=1时，上式的值为1，否则为0.
2. ∑ d ∣ n φ ( d ) = n \sum_{d|n}\varphi(d)=n d∣n∑φ(d)=n - 结论
给定数论函数 f f f和 g g g：
若 f f f满足 f ( n ) = ∑ d ∣ n g ( d ) f(n)=\sum_{d|n}g(d) f(n)=∑d∣ng(d)，则 g g g满足$ g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*f(\frac{n}{d})$ - 证明
∑ d ∣ n μ ( d ) ∗ f ( n d ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) ∑ d ′ ∣ n d g ( d ′ ) = ∑ d ′ ∣ n g ( d ′ ) ∑ d ∣ n d ′ μ ( d ) = g ( n ) \sum_{d|n}\mu(d)*f(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{d^{'}|\frac{n}{d}}g(d^{'})=\sum_{d^{'}|n}g(d^{'})\sum_{d|\frac{n}{d^{'}}}\mu(d)=g(n) ∑d∣nμ(d)∗f(dn)=∑d∣nμ(d)∑d′∣dng(d′)=∑d′∣ng(d′)∑d∣d′nμ(d)=g(n) - 应用
将很复杂的式子变形成为很简单的式子。 - 例题
1.【SDOI2015】约数个数和；
2.【POI2007】ZAP-Queries；
双倍经验：
3.GCD；
4.YY的GCD； - 总结
这种题通常是先把复杂的式子化为简单的式子，再用数论分块来做。
这里以ZAP为例：
目标公式： ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n [ g c d ( i , j ) = k ] \sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}[gcd(i,j)=k] i=1∑mj=1∑n[gcd(i,j)=k]
转化：
∑ i = 1 m ∑ j = 1 n [ g c d ( i , j ) = k ] \sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}[gcd(i,j)=k] ∑i=1m∑j=1n[gcd(i,j)=k]
= ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∑ d ∣ g c d ( i , k ) / k μ ( d ) =\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}\sum_{d|gcd(i,k)/k}\mu(d) =∑i=1m∑j=1n∑d∣gcd(i,k)/kμ(d)
= ∑ d μ ( d ) ∑ k d ∣ i m ∑ k d ∣ j n 1 =\sum_d\mu(d)\sum^m_{kd|i}\sum^n_{kd|j}1 =∑dμ(d)∑kd∣im∑kd∣jn1
= ∑ d μ ( d ) ⌊ m k d ⌋ ⌊ n k d ⌋ =\sum_d\mu(d)\lfloor \frac{m}{kd} \rfloor \lfloor \frac{n}{kd} \rfloor =∑dμ(d)⌊kdm⌋⌊kdn⌋;
预处理 ⌊ m k d ⌋ \lfloor \frac{m}{kd} \rfloor ⌊kdm⌋和 ⌊ n k d ⌋ \lfloor \frac{n}{kd} \rfloor ⌊kdn⌋ - 代码：
#include杜教筛
- 应用
求前缀和。
其实求前缀和可以用线性的方法，但是当 n n n很大（如 1 0 10 10^{10} 1010）时，就必须使用杜教筛了。 - 实质
记忆化搜索。 - 实现方法
定义数论函数 f f f, g g g, h h h，其中 h = f ⨂ g h=f\bigotimes g h=f⨂g。
目标是求 f f f的前缀和 S ( n ) = ∑ i = 1 n f ( i ) S(n)=\sum^n_{i=1}f(i) S(n)=∑i=1nf(i)，而 h h h的前缀和易求，可用此方法。 - 关键：找 g g g和 h h h
- 过程
∑ i = 1 n h ( i ) \sum^n_{i=1}h(i) ∑i=1nh(i)
= ∑ i = 1 n ∑ j ∣ i f ( j ) g ( i j ) =\sum^n_{i=1}\sum_{j|i}f(j)g(\frac{i}{j}) =∑i=1n∑j∣if(j)g(ji)(狄利克雷卷积)
= ∑ i = 1 n g ( i ) ∑ j = 1 ⌊ n / i ⌋ f ( j ) =\sum^n_{i=1}g(i)\sum^{\lfloor n/i \rfloor}_{j=1}f(j) =∑i=1ng(i)∑j=1⌊n/i⌋f(j)（玄学变换）
= ∑ i = 1 n g ( i ) S ( ⌊ n i ⌋ ) =\sum^n_{i=1}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) =∑i=1ng(i)S(⌊in⌋)
= g ( 1 ) S ( n ) + ∑ i = 2 n g ( i ) S ( ⌊ n i ⌋ ) =g(1)S(n)+\sum^n_{i=2}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) =g(1)S(n)+∑i=2ng(i)S(⌊in⌋)
即：
S ( n ) = ∑ i = 1 n h ( i ) − ∑ i = 2 n g ( i ) S ( ⌊ n i ⌋ ) g ( 1 ) S(n)=\frac{\sum^n_{i=1}h(i)-\sum^n_{i=2}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)}{g(1)} S(n)=g(1)∑i=1nh(i)−∑i=2ng(i)S(⌊in⌋)
用数论分块即可求出正解。
总复杂度: O ( n 3 4 ) O(n^{\frac{3}{4}}) O(n43)
- 模板
先预处理出小范围的答案，大范围的用map存。
求 ∑ i = 1 n μ ( i ) \sum^n_{i=1} \mu(i) ∑i=1nμ(i)
#include- 例题
【模板】杜教筛（卡常好题）。
快速傅里叶变换（FFT）
-
复数
1.形如： a + b i a+bi a+bi的数，其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1。
2.四则运算：
a. ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
b. ( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i;
c. ( a + b i ) ∗ ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( b c + a d ) i (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i (a+bi)∗(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i;
d.除法被吞了 q w q qwq qwq; -
单位复数根：
1.欧拉公式: e i x = cos x + i sin x e^{ix}=\cos x+i\sin x eix=cosx+isinx；
2.设 ω n k \omega^k_n ωnk表示 n n n的 k k k次复根，即把一个平面均分成 n n n份，取逆时针前 k k k份。当 n = 8 n=8 n=8时， ω n k \omega^k_n ωnk如下：
3.根据欧拉公式： ω n k = cos ( 2 π k n ) + i sin ( 2 π k n ) \omega^k_n=\cos (\frac{2\pi k}{n})+i\sin (\frac{2\pi k}{n}) ωnk=cos(n2πk)+isin(n2πk)
4.性质：
a. ω n n = ω n 0 = 1 \omega^n_n=\omega^0_n=1 ωnn=ωn0=1;
b.消去引理： ω d n d k = ω n k \omega^{dk}_{dn}=\omega^{k}_{n} ωdndk=ωnk;
c.折半引理： ( ω n k ) 2 = ω n 2 k (\omega^k_n)^2=\omega^k_{\frac{n}{2}} (ωnk)2=ω2nk;
d. ω n 1 k 1 ∗ ω n 2 k 2 = ω n 1 + n 2 k 1 + k 2 \omega^{k_1}_{n_1}*\omega^{k_2}_{n_2}=\omega^{k_1+k_2}_{n_1+n_2} ωn1k1∗ωn2k2=ωn1+n2k1+k2; -
快速傅里叶变换
终于进入正题了，写的我好辛苦啊！！！
1.应用：用于求多项式的乘积，甚至可以求 A ∗ B P r o b l e m A*B\ Problem A∗B Problem(雾)。
2.算法：Cooley-Tukey（分治）
一般求多项式的乘积用的是系数表示法 A = ∑ i = 0 n a i ∗ x i A=\sum^n_{i=0}a_i*x^i A=∑i=0nai∗xi，这样求多项式的乘积的时间复杂度就是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，有点慢。
而FFT选用的是点值表示法 ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) (x_1,y_1),...,(x_n,y_n) (x1,y1),...,(xn,yn)，多项式的乘积就是 ( x 1 , y a 1 ∗ y b 1 ) , . . . , ( x n , y a n ∗ y b n ) (x_1,y_{a_1}*y_{b_1}),...,(x_n,y_{a_n}*y_{b_n}) (x1,ya1∗yb1),...,(xn,yan∗ybn)，时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)，好快啊！！！
接下来就是选择点值表达式中的点了。上面我们提到了单位复数根，它有很多优美的性质，我们就选它作为点横坐标啦(雾)。
那么: A ( ω n k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i ∗ ω n k i A(\omega^k_n)=\sum^{n-1}_{i=0}a_i*\omega^{k_i}_n A(ωnk)=i=0∑n−1ai∗ωnki
把 A ( x ) A(x) A(x)的系数按奇偶分开，即：
A 0 ( x ) = a 0 + a 2 x + a 4 x 2 + . . . A_0(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+... A0(x)=a0+a2x+a4x2+...
A 1 ( x ) = a 1 + a 3 x + a 5 x 2 + . . . A_1(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+... A1(x)=a1+a3x+a5x2+...
A ( x ) = A 0 ( x 2 ) + x A 1 ( x 2 ) A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2) A(x)=A0(x2)+xA1(x2)
有兴趣可以自己验证一下。
那么： A ( ω n k ) = ∑ i = 0 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n k ∑ i = 0 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i A(\omega^k_n)=\sum^{\frac{n}{2}-1}_{i=0}a_{2i}\omega^{2ki}_{n}+\omega^k_n\sum^{\frac{n}{2}-1}_{i=0}a_{2i+1}\omega^{2ki}_{n} A(ωnk)=i=0∑2n−1a2iωn2ki+ωnki=0∑2n−1a2i+1ωn2ki
当 k < n 2 k<\frac{n}{2} k<2n时：
A ( ω n k ) = ∑ i = 0 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n k ∑ i = 0 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i A(\omega^k_n)=\sum^{\frac{n}{2}-1}_{i=0}a_{2i}\omega^{ki}_{\frac{n}{2}}+\omega^k_n\sum^{\frac{n}{2}-1}_{i=0}a_{2i+1}\omega^{ki}_{\frac{n}{2}} A(ωnk)=i=0∑2n−1a2iω2nki+ωnki=0∑2n−1a2i+1ω2nki
A ( ω n k + n 2 ) = ∑ i = 0 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n k ∑ i = 0 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i A(\omega^{k+\frac{n}{2}}_n)=\sum^{\frac{n}{2}-1}_{i=0}a_{2i}\omega^{ki}_{\frac{n}{2}}+\omega^k_n\sum^{\frac{n}{2}-1}_{i=0}a_{2i+1}\omega^{ki}_{\frac{n}{2}} A(ωnk+2n)=i=0∑2n−1a2iω2nki+ωnki=0∑2n−1a2i+1ω2nki
每次代入规模减半，复杂度为 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn) -
傅里叶逆变换
将点值表达式转化为系数表达式。 -
实现
1.递归实现（常数太大，不常用）；
2.非递归实现：先位翻转(蝴蝶变换)，再自底向上实现，常数较小。 -
代码
其实说了那么多，我也不知道自己在写什么，还是看代码吧。
#include-
总结
形如求 c ( n ) = ∑ i = 1 n − 1 a [ i ] + b [ n − i ] c(n)=\sum^{n-1}_{i=1}a[i]+b[n-i] c(n)=∑i=1n−1a[i]+b[n−i]的式子适合用 f f t fft fft或 n t t ntt ntt解决。 -
例题
1.【模板】多项式乘法（FFT）；
2.【模板】分治 FFT；
3.【模板】A*B Problem升级版（FFT快速傅里叶）；
快速数论变换（NTT）
-
原根
若 g g g是 p p p的一个原根，则 g 0 , g 1 , . . . , g p − 1 ( m o d p ) g^0,g^1,...,g^{p-1}(mod\ p) g0,g1,...,gp−1(mod p)是 p − 1 p-1 p−1个非0数。 -
NTT
与FFT类似，只是有模，并且 ω n i \omega^i_n ωni变成了原根 g g g而已。 -
代码
改天再贴。
*斯特林数相关算法
由于太难了，有时间再写。