[AHOI2009]中国象棋题解

题目描述

这次小可可想解决的难题和中国象棋有关，在一个N行M列的棋盘上，让你放若干个炮（可以是0个），使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，请问有多少种放置方法。大家肯定很清楚，在中国象棋中炮的行走方式是：一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好 有一个棋子。你也来和小可可一起锻炼一下思维吧！

输入输出格式

输入格式：
一行包含两个整数N，M，之间由一个空格隔开。
输出格式：
总共的方案数，由于该值可能很大，只需给出方案数模9999973的结果。

分析

O(n^3)的DP，设状态为dp[i][j][k],i为到了第几行，j为有j行摆一个，k为有k行摆两个，可列状态转移方程
dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k])%mod;（一个不摆）
dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][k]*(m-j+1-k))%mod;（一个棋子，放在原来没棋子的某一列上）
dp[i][j][k]=(dp[i][j][k] + dp[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%mod;（一个棋子，放在原来有一个棋子的某一列上）
dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2))%mod;（两个棋子，一个在原来没棋子的列上，一个在原来一个棋子的列上）
dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)*j)%mod;（两个棋子，都放在原来没棋子的列上）
dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%mod;（两个棋子，都放在原来一个棋子的列上）
时间：216ms
上代码

#include
using namespace std;
long long dp[103][103][103],mod=9999973,ans=0,n,m;
int C(int x){
    return x*(x-1)/2;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;j+k<=m;k++){
                dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k])%mod;
                if(j-1>=0) dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][k]*(m-j+1-k))%mod;
                if(j+1<=m&&k-1>=0) dp[i][j][k]=(dp[i][j][k] + dp[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%mod;
                if(j-2>=0) dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2))%mod;
                if(k-1>=0) dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)*j)%mod;
                if(j+2<=m&&k-2>=0) dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%mod;
            }
    for(int i =0;i<=m;i++) for(int j=0;j+i<=m;j++) ans=(ans+dp[n][i][j])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}