【高数】幂级数求和函数问题：用变限积分？积分下限是0？S(0)怎么求？求和时起始项n和角标有规定吗？
目录
一、起因
二、概念理解
1. 牛顿莱布尼茨公式
2. 变限定积分、不定积分的关系
3. 幂级数求和可以用不定积分吗？
4. 为什么从积分下限从0开始？
三、S(0)的求法
1. 何时需要讨论S(0)？
2. S(0)什么含义？
3. 怎么求S(0)？
4. 例题
四、起始项和角标问题
五、幂级数求和函数解法
六、小结
一、起因
问题：幂级数求和函数，时而有S(0)这一项，时而又没有，令人困惑。
S(0) 什么含义？什么时候会有 S(0) 出现？应该怎么求 S(0)？
求和函数时，对幂级数的脚标有无要求？次方有无要求？
二、概念理解
1. 牛顿莱布尼茨公式
定理 设 f(x) 在 [a, b] 上可积，F(x) 在 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内有 F’(x)=f(x)，则
推论 设 f(x) 在 [a, b] 上可积，F(x) 在 [a, b] 上连续，且在 [a, b] 上除去有限个点外皆有 F’(x)=f(x)，则
《对牛顿-莱布尼兹公式的一点认识》：https://www.ixueshu.com/document/d91fe7d952625b8a318947a18e7f9386.html
有牛莱公式的证明和例题。
注：（1）有时F'(x)在某点处不存在，因此在解微分方程时，F(x)并不能叫做方程的解，只能叫做满足方程的函数。
（2）牛莱公式本是为解决定积分问题的，但是，也可以用于变限积分，表示的是一个函数，而非一个数值。
2. 变限定积分、不定积分的关系
因此，从该公式可以看出，当对函数进行定积分时，需要选取上下限。当上限选定为x，即变上限积分，此时下限选取为某常数m，则此时积分所得，即为 F(x)-F(m)。随着m的选取不同，该值也不同，但F(m)始终为一个常数。事实上，这就是不定积分被给了条件，而使得任意常数项C变为某个确定值，因此从一类函数变为一个确定的函数。
注：定积分和不定积分的可积没有任何关系。有一些函数是可积但不可求积的！不妨展开成幂级数然后求，要注意C项。（见《高数十八讲》例题）
《从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系》：http://www.doc88.com/p-29935820943.html
指出了（1）不定积分=变限定积分+C（2）有些不能表达为初等函数的问题，可以通过变限积分+交换积分次序解决（3）一阶线性微分方程的通解问题
3. 幂级数求和可以用不定积分吗？
当然可以，但是本质是一样的！请结合2理解。
因为幂级数求和的唯一性。（反证法：设想，如果一个幂级数有两个和函数，那么取x=b时，那么S1(b)=S2(b)=∑a_n b^n，这就是同一个和函数啊！）所以和函数是一个具体的函数。
不定积分得到的系列函数含有C，S(x)=F(x)+C，把x=0处的值代入得，C=S(0)-F(0)，求出来C。其实和变限积分是一样的，其中，F(0)=0（积分上限x代入0可得），但S(0)未必。
4. 为什么从积分下限从0开始？
《关于幂级数逐项积分的积分下限的讨论》：http://www.doc88.com/p-3107942195863.html
原因有二。一是好算，如F(0)=0，且多数情况下S(0)=0。二是，x=0这个点必然在收敛域内，所以对 [0, x] 区间内的积分必然是收敛情况下的，保证了可求得和函数。
三、S(0)的求法
1. 何时需要讨论S(0)？
（1）先积分后求导时，常数项消掉（S(0)是一个数），所以不考虑。先求导再积分时，则有S(0)。
（2）乘x凑项时，后续得到的F(x)需要➗x才能求S(x)，此时要讨论分母即x=0的问题。如F(x)=xS(x)=某函数。
2. S(0)什么含义？
表示级数的x取零时的数值。当从n=0开始时，0的0次方无意义，怎么理解呢？
在这里，级数是先展开后代入的，所以x的0次方是1，而只是这个变量x取了0。此时，x的1次方及更高次，都是0。因此S(0)表示级数的常数项a0。
3. 怎么求S(0)？
让x的次方项=0，未必就意味这n=0，有时n=0是无意义的，或者级数从n=1开始等，注意区分。
一些相关的问答：
《幂级数中求和函数，怎么s(0)有时候等于1，有时候等于0》：https://zhidao.baidu.com/question/2208569409025896028.html?&mzl=qb_xg_2&fr=relate&word=&refer_title=
《幂级数求和，积分下限0是不是s(0)=0中的0》：https://www.zybang.com/question/46bddca57c35534ae813331f455f7c01.html
《幂级数求S(0)，为什么有时不能S(x)代入0》：https://www.zybang.com/question/0a3d7d2e6831518f116c05fc01765d14.html
《为什么幂级数求和都要确定一个S(0)呢》：http://bbs.kaoyan.com/t4720399p1
这个帖子的讨论角度较多，可以看看。
4. 例题
四、起始项和角标问题
幂级数求和，一定要是起始项从n=0开始吗？角标一定是n吗？
未必，有时n=0无意义，可能从n=1开始等等。角标不是n时，有可能是sinx或cox等；如果是缺项，应通过变量代换等换成n次方便于计算。
只有从n=0开始、且角标是n的级数， 才能用以下式子直接得出。下式都是在x=0处的展开，如果求的是在x=x0处展开，且在定义域内，把x替换成（x-x0）即可。
五、幂级数求和函数解法
1. 三种思路
- [1] 将级数通过加减分解，用己知和函数的级数求和
- [2] 先求导再积分，或先积分再求导
- [3] 解出和函数满足的微分方程
2. 思路[2]的步骤
- 求收敛域：收敛半径、端点处敛散性
- 设出和函数为S(x)
- 先积后导或先导后积
- 讨论x是否为0，得出S(0)
- 若有必要，S(x)写为分段函数，一段是收敛域内但不包括0，一段是0
《从求幂级数和函数的过程想到的》：http://www.doc88.com/p-4874564737116.html
给出了类型及解法，有例题。
六、小结
1. 不定积分=变限定积分+C
2. 积分下限从0开始，因为好算，且x=0这个点处必然收敛。
3. S(0)表示级数的常数项a0。需要讨论S(0)的情况：先积分后求导，或乘x凑项时。求法：让x的次方项=0。
4. 起始项未必从n=0开始，角标未必是n次方，有时可以直接套公式，有时需变量代换。
5. 幂级数求和函数思路：加减分解为己知的级数 / 先求导再积分，或先积分再求导 / 解微分方程。
指路链接：《级数入门 (含基础题目)》：http://tieba.baidu.com/p/5951769648?pn=1
级数这部分，学习到这里算是告一段落。虽然说是高数中较为简单的部分，但对我来说，好难啃啊。
正是因为讲的东西少，看起来有如雾里看花，于是东找西找地查各种疑问。
最后放一个今天刚看到的帖子，2018年写的，直到2019年还在更新，好励志哇。
（其实贴吧，高中时开始用，就是看数学的哈哈，挺有趣。）