矩阵快速幂

无耻的粘自Margatroid

前置技能

矩阵乘法

复杂度为 O(n3) ，有复杂度稍低的分治写法，不过意义不大（毕竟你的矩阵这么小）

A,B 是两个矩阵，其中 A 是 m×n 的矩阵， B 是 x×y 的矩阵

A=[a11a21a12a22a13a23], B=⎡⎣⎢b11b21b31b12b22b32⎤⎦⎥

当且仅当 n=x 时 A⋅B 有意义。

注意：矩阵乘法不满足交换律，设 C=A⋅B ，则

cik=∑j=1naijbjk

一般的，我们用矩阵去 左乘一个向量，来对该向量进行 线性变换。

如果对于矩阵乘法仅仅是会写代码的程度，请深入理解并能够手算，否则不要阅读以下内容。

快速幂

复杂度 O(logn)

这个没啥好说的，如果不会可以上网搜或者看我之前的博客

矩阵快速幂

矩阵加上快速幂，可以迅速求出线性递推式的第 n 项，或者是前 n 项和（必须是线性组合）

求斐波那契数列

斐波那契数列的定义：

F1=F2=1, Fn=Fn−1+Fn−2

我们注意到，该数列的第 n 项是第 n−1 项和第 n−2 项的线性组合（你tm在放屁）

我们构造一个列向量：

A=[Fn−1Fn−2]

然后我们考虑第 n+1 项，是第 n 项和第 n−1 项的线性组合（简直是废话）

同样的，我们也可以构造一个列向量：

B=[Fn−1+Fn−2Fn−1]

然后我们考虑一下怎么把 A 经过一波骚变换而把它变成 B ，由于这是向量之间线性组合，左乘一个矩阵是可以的：

[1011][Fn−1Fn−2]=[Fn−1+Fn−2Fn−1]

嗯，就这样变换。

如果我要求第 n 项，就再左乘 n−2 个同样的矩阵，所以，我们有：

[1011]n−2[F1F2]=[FnFn−1]

然后左边的那个矩阵的幂可以用快速幂处理，可以在 O(logn) 时间内求出，再乘一下那个列向量，就得到了我们要求的东西。

进阶版：求两项的线性递推式

题目：COGS

其实就是给斐波那契数列加上了系数。

矩阵会变成这样：

[a0b1][Fn−1Fn−2]=[aFn−1+bFn−2Fn−1]

极限版：求n项的线性递推式

题目：COGS

嗯。。。这个就比较毒瘤了。。。

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还是要构造矩阵。。（怕是要敲公式敲死）

还是去网上搜一个矩阵粘下来吧（懒癌爆发）

好像并没有人手敲矩阵。。决定吃螃蟹。。。

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求

f(n)=a1f(n−1)+a2f(n−2)+...+adf(n−d) (n>d)

其中 a1,a2,⋯an 和 f(1),f(2),⋯f(n) 已知。

大力构造矩阵：（md真丑）

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a1100⋮0a2010⋮0a3001⋮0⋯⋯⋯⋯⋱⋯1an000⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(n)f(n−1)f(n−2)f(n−3)⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(n+1)f(n)f(n−1)f(n−2)⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

啊。。我尽力了。。。就是这样。。敲公式真累。。。

求斐波那契数列的前n项和

即求

∑i=1nFi

这个和之前的还是不太一样的，没有明确的递推式。

我们注意到前 n 项和 sumn 是 sumn−1 和 Fn 的线性组合，然后构造矩阵：

⎡⎣⎢100111110⎤⎦⎥⎡⎣⎢sumn−1Fn−1Fn−2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢sumnFnFn+1⎤⎦⎥

求自然数列的前n项平方和

即求：

∑i=1ni2

由于 sumn+1 是 sumn 与 (i+1)2 的线性组合， (i+1)2 是 i2, i, 1 的线性组合，因此可以构造矩阵：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢1000110022101111⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢sumni2i1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢sumn+1(i+1)2(i+1)1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

求斐波那契数列的前n项平方和

即求

∑i=1nF2i

注意到 sumn 是 F2n 与 sumn−1 的线性组合，而 F2n 是 F2n−1 和 F2n−2 和 Fn−1Fn−2 的线性组合，所以构造矩阵：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢1000111111002201⎤⎦⎥⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢sumn−1F2n−1F2n−2Fn−1⋅Fn−2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢sumnF2nF2n−1Fn⋅Fn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

注意在推矩阵的最后以后时使用了一些骚操作，可以手推一下验证一下正确性

求自然数列的前n项立方和

即求：

∑i=1ni3

注意到 sumn+1 是 (i+1)3 与 sumn 的线性组合，而 (i+1)3=i3+3i2+3i+1 ，是 i3,i2,i,1 的线性组合， (i+1)2=i2+2i+1 ，是 i2 与 i 的线性组合， i+1 是 i 与 1 的线性组合，因此构造矩阵：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1000011000331003321011111⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢sumni3i2i1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢sumn+1(i+1)3(i+1)2(i+1)1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

参考资料

• leakov-济南集训课件：网页链接
• 维基百科-矩阵乘法：网页链接

写在最后

本文中举出的一些例子有更简单的做法，比如后三个，之所以以最复杂的形式展示出来，是为了提高构造矩阵的能力。还有，敲公式真tm累