离散数学学习

第9章——代数系统

二元运算

• 判定：封闭性 + 结果唯一
• 运算律：结合律 交换律 幂等律 吸收律 消去律
• 特殊元：单位元 零元 逆元
• 掌握：
  • 判断是否为二元运算
  • 通过式子或运算表判断各种运算律是否成立

代数系统

• 判断：运算集合 + 运算符 = 代数系统
• 同类型代数系统：具有相同数量的一元、二元算符，以及代数常数的代数系统
• 子代数系统：原代数系统的集合取子集
• 积代数：保持因子代数的性质不变

代数系统的同态与同构

• 判定：f(a) · f(b) = f(a·b)
• 好性质：会将特殊元映射过去，算律也会映射过去（消去律不一定）

f（）的类型	同态名称
单射	单同态（单自同态）
满射	满同态（满自同态）
双射	同构（自同构）

第10章——群与环

群

进化	附加性质
代数系统	封闭性
半群	结合律
幺群（独异点）	含幺元
群	任意元素含逆元

群名称	群性质
有限群、无限群	G是否是有限集
平凡群	只含单位元
交换群（阿贝尔群）	具有交换律
Klein四元群	幂等、可交换的、逆元是本身

• 性质
  • 满足消去律
  • |x| = |x^-1|
• 掌握：
  • 依据群的性质经行幂运算
  • 简单的阶等式证明

子群

• 证明子群
  • 封闭性 + 逆元存在
  • 非空 + ab^-1封闭
  • 有限 + ab 封闭

陪集

• 定义： Ha = {ha | h ∈H} (右陪集), a称为代表元素
• 性质：
  • a ∈ Ha
  • b∈Ha <==> Ha = Hb
  • 陪集中的任意一个元素可以作为代表元素
  • 陪集就相当于一个划分，不同陪集之间∩为空
  • |H| = |Ha|

拉格朗日定理

• 作用：分析子群以及元素的阶
• 性质:
  • 子群的阶是群的阶的因子
  • 元素的阶（等于生成子群的阶）也是因子
  • G是素数阶的群，则有a∈G, < a > = G

循环群

• 定义：< a > = G，是生成群
• 性质：
  • 无限群的生成元只有 a 与 a^-1
  • 有限群的生成元是 a^r，其中 r 与 |G| 互素
  • 有限群的子群同阶的唯一，结合拉格朗日定理可以快速求出所有子群

置换群

• 定义
  
• 运算
  

Ploya定理

• 作用：计算对称性好的染色问题
• 形式：
  

环与域

• 定义：，如果构成交换群，构成半群，·对+可分配，则是环
• 分类：

名称	对·运算的要求要求
交换环	·满足交换律
含幺环	· 有幺元
无零因子环	ab=0 推出 a = 0 或 b =0
整环	满足上面三条
域	整环的基础上加（除0元外）逆元存在（双交换群为域）

费马小定理

为素数, n^p-1 ≡ 1 (mod n)

第11章——格与布尔代数

格的定义与性质

• 偏序格是：一个偏序集，且满足任意俩元素存在上确界和下确界
• 格的简单运算 和 与 的性质：交换律、结合律、幂等律、吸收律、对偶律
• 代数格： 如果 +、· 满足 交换律，结合律，吸收律，则可由此代数系统构造格

格的名称	要求
子格	需要在原图上的最小界也在子格图上
分配格	不含钻石和五角格
有界格	存在全下界和全上界（有限格一定是有界格）
有补格	对于任意元素都存在补元
布尔代数	有补分配格

布尔代数

• 证明：交换律、分配律、同一律、补元律
• 性质：
  • 布尔代数B，同构于其全体原子构成的集合A的幂集代数P(A)
  • 任何布尔代数基数为2^N（对数量限制）
  • 等势的布尔代数同构

第14章——图的基本概念

图的基本概念

• 多重集合：含有重复元素的集合，重复度是指对应元素重复的次数
• 无序积：A&B == {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
• n阶图：顶点数为n的图
• 零图：没有边的图
• 平凡图：1阶零图
• 空图：只出现在运算中,不符合图的定义（n>0）
• 标定图：边点都有字母标注的图
• 完全图：所有边都有的简单图，Kn
• 正则图：所有顶点度都相同的无向图
• 竞赛图：基图是Kn的有向图
• 子图：顶点和边是母图的子集
• 补图：针对Kn而言的补
• 生成图：由图所有顶点的子图
• k-连通图：点连通度 ≥ k
• r边-连通图：边连通度 ≥ r

图的边与顶点的关系

• 关联：边与顶点相关
• 相邻接：点与点 或 边与边 相连的
  • 邻域：不包含自己的
  • 闭邻域：包含自己的
• 度：顶点度指与顶点相连接的边的数目 （注意环算两个度）
  • 性质：图的度是边数的两倍 （一定为偶数）
  • 判断是否能可视化：
    • 普通的图：顶点度和为偶数
    • 简单图：度 ≤ n-1 （必要条件）

图同构的判断的几种方法

• 抽象出图像，看作是不同方向看
• 拆分成两部分，先分开检验，再检验两部分连接是否正确
• 标上标号检验

通路和回路

要求	通路	回路
可重复利用边点	复杂通路	复杂回路
边不重复	简单通路（迹）	简单回路
边点都不重复	初级通路（路径）	初级回路（圈）

点割集与边割集

• 定义：去掉某个点(边)的最小集合后，p(G) 变大
• 点（边）连通度：删除最少的点（边的数量使得图不连通）
• 性质：k ≤ λ ≤ δ

有向图的连通性

• 如果存在包含所有点的回路，强连通
• 如果存在包含所有点的通路，单向连通
• 如果基图连通，弱连通

二部图

• 定义：可将所有的划分为两组，组内点不相连，组外相连
• 判断：等价于不存在奇圈

极大路径法

• 使用过程：
  • 先确定一个图是连通的，或者取图的某一连通分量
  • 任取点开始构造，表示构造结果
  • 常用结论是路径上的点 ≥ δ+1

图的矩阵表示

• 关联矩阵（点边）：
  • 无向图（2、1、0）
  • 有向图 1 表示始点 -1 表示终点
• 邻接矩阵（点点）：
  • 可运算，结果是路径长数
• 可达矩阵：Warshall算法

图的运算

• ∪、∩直接作用于点集边集
• -、对称差作用于边

欧拉图与哈密顿图

名称	定义	判断
欧拉图	存在回路走过所有边一次	连通+无奇度顶点
半欧拉图	存在通路走过所有边一次	连通+2个奇度顶点

• 找欧拉图的路径：找一个大环，遇到小环走小环。

哈密顿图

• 定义：有走过所有顶点一次的回路的图（通路的话就是半哈密顿图）
• 判断：
  • 充分条件：d(u)+d(v) >= n
  • 必要条件：
    1. 边数判断
    2. p(G-V) > |G| 则一定不是哈密顿图
    3. Kr,r才是哈密顿图
• 找路径：向里面推

第16章——树

无向树

• 定义：
  • 树
  • 任意两个节点之间存在唯一路径
  • 无回路且 m = n - 1
  • 连通且 m = n - 1
  • 连通且边都是桥
  • 无回路且加边有圈

生成树

• 定义：无向图的生成子图
• 性质：
  • 无向连通图都有生成树(破圈法证明)
  • 每一条弦都可以对应一个圈
  • 每一条树枝对应一个割集
• 相关概念：
  • 树枝：T的边
  • 弦：不在T中的边
  • 余树：所有弦的导出子图
    • 注意：因为是由图生成，所以，余树的限制极小，余数可能存在回路，不一定是树
• 最小生成树算法

根树

• 定义：只有一个入度为0的顶点的有向树
• 相关概念：
  • 树根：入度为0的点
  • 树叶：入读为1 出度为0的点（也就是说树根不是树叶）
  • 内点：入读为1出度不为0的点
  • 分支点：树根+内点（有出度的点、非叶子节点、注意：分支点出度可能为0（平凡树））
  • 树高：到树根的最大距离
• 特殊的树：
  • r叉树：度不超过r
  • 正则树：度都为r
  • 有序树：节点有序
  • 完全树：叶子在同一层
• r叉正则树：（r-1）i = t - 1
• Huffman算法 以及 前缀码
• 波兰表达式

第17章——平面图

平面图

• 定义：有平面嵌入的图
• 性质：
  • 平面图的子图是平面图，非平面图的母图是非平面图（K5, K3,3都是非平面图）
  • 平行边和环不影响平面性
• 平面图的面（无限面和外部面）：面的次数等于边数的两倍
• 极大平面图：充要条件——当n>3,则面的次数均为3
• 极小非平面图
• 欧拉公式（作用平面图）：n - m + r = k + 1
  • 推论(平面图的必要条件)：
    • m ≤ l(n-2)/（l-k-1）
    • m ≤ 3n - 6

第18章——染色问题

点着色

• 奇圈、偶圈、轮的具体色数
• 上界：χ(G) ≤ Δ(G) + 1 （如果不是奇圈和Kn,那么可进一步缩小到Δ(G)）

平面图着色

• 最多4种颜色

边着色

• 只可能是Δ(G) 或者 Δ(G) + 1
• 圈、轮、Kn

第19章——初等数论

素数

• 性质：任何正整数都可以做素因子分解，且结果唯一

最大公约数和最小公倍数

• 性质：
  • 如果x是a,b的因子，那么x也是gcd(a,b)的因子
  • 如果x是a,b的倍数，那么x也是lcm(a,b)的倍数
  • 设a=qb+r,则gcd(a,b)=gcd(b,r)（辗转相除法）
  • 设a、b不为0，则存在整数x、y使得gcd(a,b)=xa+yb
    • 推论：xa+yb=1 <==> a,b互素

同余

• 判定：
  • a = b + km
  • a mod m = b mod m
• 性质：
  • 在两边同时 ±、× 等式成立
  • 若d | m，a≡b (mod m), => a≡b(mod d)
  • 设c与m互素，则a≡b(mod m) 等价于 ca≡cb(mod m)
  • a≡b (mod m), => ka≡kb(mod km)

一次同于方程

• 定义： ax ≡ c(mod m) (m>0)
• 性质：有解的充要条件：gcd（a,m）| c
• 解法：列出所有的划分，检验

模m逆

• 定义: ab≡1(mod m)，则ab互为模m逆
• 性质：a与m互素才有解，且解唯一
• 解法：辗转相除

欧拉定理

若a,n互素,则 a^Φ(n) ≡ 1 (mod n)

费马小定理

欧拉定理的特殊形式,当n为素数时,欧拉定理变成a^(p-1) ≡ 1(mod p)

随机数生成

• 线性同余：在一条直线上迭代

加密

• 凯撒加密：通过平移来加密
• 分组加密：在凯撒加密的基础上，先将文章按长度n分组，每组独自加密
• RSA加密：采用公钥、私钥的方式
  • n = pq 、Φ(n) = (p-1)(q-1)、w 与 Φ(n) 互素、dw ≡ 1(mod Φ(n))
  • 加密：c ^ w mod n
  • 解密：c ^ d mod n