强连通分量（超详细！！！）

强连通分量（超详细！！！）

一、定义

在有向图G中，如果两个顶点u，ｖ间有一条从ｕ到ｖ的有向路径，同时还有一条从ｖ到ｕ的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量。

图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

二、tarjan算法 时间复杂度是O(N+M)

四条边：

树枝边：DFS时经过的边，即DFS搜索树上的边。

前向边：与DFS方向一致，从某个结点指向其某个子孙的边。

后向边：与DFS方向相反，从某个结点指向其某个祖先的边。（返祖边）

横叉边：从某个结点指向搜索树中的另一子树中的某结点的边。

 

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。 由定义可以得出，Low(u)=Min {Low(u), Low(v) } (u,v)为树枝边，u为v的父节点 . Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) } DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(指向栈中结点的横叉边) } 当结点u搜索结束后，若DFN(u)=Low(u)时，则以u为根的搜索子树上所有还在栈中的节点是一个强连通分量。

算法过程：

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

初始化时Low[u]=DFN[u]=++index

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

 

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

Low(u)=Min {Low(u), DFN(v) } DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边

 

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

三、tarjan算法用途

1、有向图的缩点

将同一个强连通分量中的点缩成同一个新结点，对于两个新结点a,b之间有边相连，当且仅当存在两个点u属于a，v属于b。

 

 

2、求割点和桥

三、例题

「例 1」受欢迎的牛（信息学奥赛一本通 1513）

【题目描述】

原题来自：USACO 2003 Fall

每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。现在有 N 头牛，给你 M 对整数 (A,B)，表示牛 A 认为牛 B 受欢迎。这种关系是具有传递性的，如果 A 认为 B 受欢迎，B 认为 C 受欢迎，那么牛 A 也认为牛 C 受欢迎。你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

【输入】

第一行两个数 N,M；

接下来 M 行，每行两个数 A,B，意思是 A 认为 B 是受欢迎的（给出的信息有可能重复，即有可能出现多个 A,B）。

【输出】

输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。

【输入样例】

3 3
1 2
2 1
2 3

【输出样例】

1

【提示】

样例说明

只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

数据范围：

对于全部数据，1≤N≤104,1≤M≤5×1041≤N≤104,1≤M≤5×104。

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