《化工流体力学》课程笔记（二）

连续介质模型

流体微团（也称为流体质点）有足够数量的分子组成，连续充满它占据的空间，彼此间无任何间隙。甚至考虑到流体距离固体边壁接近零的极限状况也认为如此——这个假设称为流体连续介质假设或稠密性假设。

速度场

在给定时刻，速度场V是空间坐标的函数，即$V=V(x,y,z)$。

流场中给定点的速度也会随着时间发生变化，速度（即速度场）的完全表达式为：$V=V(x,y,z,t)$

定常流动——流场中某点的特性参数不随时间改变，可用数学式表示为：$\partial \eta /\partial t=0$

一维、二维和三维流动

• 三维流动：$V=V(x,y,z,t)$（也是非定常流场）。
• 一维流动：等截面长直圆管中的流动，在远离进口段的速度分布。
• 二维流动：在z方向无限大的两块平板组成的流道，当其截面扩张时，速度场能被垂直于z轴的平面所确定，因此速度场是空间坐标x和y的函数。

均匀流动与均匀流场

• 截面均匀流假设：在给定截面上流动是均匀的，在与流动垂直截面上的速度是常数。
• 均匀流场：用于描述整个流场内速度矢量的大小和方向都是常数的流动，即不取决于空间坐标。

迹线、脉线和流线

• 迹线（Pathlines）：某一流体质点的运动轨迹。
• 脉线（Streaklines）：关注空间某一位置，在经历较短的时间后，可以标识出流动过程中经过该空间点的许多流体质点，所有这些流体质点都在一定的时间内，先后流经这个固定的空间位置，连接这些流体质点的线。(例如标记点的运动轨迹。)
• 流线（Streamlines）：在给定瞬时把一系列空间点连接起来的一条假想线，在该瞬时处于这条线上的所有质点的速度矢量与这条线相切。表明给定瞬时沿流线各质点的运动方向。
• 流线的特征
  • 对于非定常流，流速是时间的函数，流线的形状也会随时间发生变化。
  • 对于定常运动，由于空间点的速度不随时间而变，所以流线的形状保持不变。
  • 同一时刻，在空间一点上只有一个速度，也就是说，同一时刻通过一点只有一根流线。
  • 一般情况下，同一时刻流场中的流线不能相交。（速度为0的地方可以相交）
  • 流线方程
    • 设r是流线上某点的位置矢量，v是流体在该点的速度矢量。速度与流线相切，流线微元段对应的矢径增量与该点的速度平行。两个平行矢量的乘积为零：$v\times dr=|v||dr|\sin 0=0$。在直角坐标系中表示为：$dx/v_x=dy/v_y=dz/v_z$
    • 说明：由于流线是对同一时刻而言的，所以在上面方程积分时，变量t被当作常数处理。在非稳态流动下，流体速度是空间坐标和时间的函数，在积分结果中则包含t，因此不同时刻有不同的流线。
  • 流管：由流线作为管壁所形成的管状曲面。流管形状随时间而变。在定常运动条件下，流管形状保持不变.流体沿着流管流动。
  • 流丝：流管的断面无限小时称为流丝。
  • “三线”的关系
    • 在定常流动中，流场中每一点的速度不随时间改变，流线的形状保持不变，因此，通过空间某一固定点的所有流体质点的流线都是相同的，这意味着对于定常流动情况，迹线、脉线和流线互相重合。
    • 对于非定常流动，三者一般不会重合。

应力场

• 应力为单位面积上所受到的力。

• 力和面积都是矢量，都带有方向性，一般需要9个量才能确定流体的应力状态，应力是一个二阶张量

• 表面力和体积力

  • 表面力（Surface Forces）：微团周围的流体或物体作用在流体微团表面上的力，它与力的作用面大小成正比。
  • 体积力（Body Forces）：作用在流体微团内均布质量的质心上，这种力通常和微团的质量成正比，一般用单位质量的质量力来表示，重力、惯性力、电磁力等都是体积力。

• 点应力

  采用双下标符号来表述应力：$T_{ij}$ 表示作用于i平面沿着j方向的应力，例如，作用在X平面上沿着Y方向的力。

  $$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ & & \\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ & & \\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]$$

  平面的命名：用坐标轴来对各个面进行命名，平面的正方向规定为沿着该面正法线的方向

  应力的符号：应力分量的方向和它的作用面同时为正或同时为负时，应力分量的符号为正

牛顿型流体：粘性

• 牛顿型流体：流体所的剪应力与变形速率成的流体。

• 非牛顿型流体：流体所受至剪应力与变形速率不成正的其它所有流体。

  假设$\alpha$为某一剪切力下流体的小变形（角度$\alpha$），经过的时间为$\delta t$，则变形速率为$d\alpha /dt$

  $$\begin{gathered} \delta l=\delta u\delta t \\ \delta l=\delta y\delta \alpha \\ \frac{\delta \alpha }{\delta t}=\frac{\delta u}{\delta y}\Rightarrow \frac{d\alpha }{dt}=\frac{du}{dy} \\ {\tau }_{yx}\propto \frac{du}{dy}\Rightarrow {\tau }_{yx}=\mu \frac{du}{dy} \end{gathered}$$

  $du/dy$为$y$方向上的速度梯度。结合牛顿型流体的定义：流体的切应力与变形速率成正比，因此可以得到结论：流体的切应力与速度梯度成正比，而比例系数就是粘度。

  运动粘度——表示绝对粘度$\mu$与密度$\rho$比值密度的量纲为$[M/L3]$，则v的量纲为$[L2/t]$。

非牛顿型流体

• 宾汉流体：不过零点，当切应力超过某值才开始发生剪切变形，且切应力随剪切变形速率呈线性变化，如牙膏。
• 假塑性流体：过零点上凸，表观黏度随着剪切应力或剪切速率的增大而减小，如化妆品。
• 胀塑性流体：过零点下凹，表观黏度随着剪切应力或剪切速率的增大而增大，如淀粉糊。

流体运动的描述与分类

• 粘性流动和无粘性流动
  • 无粘性流动：流体的粘度$\mu$假设为零
    • 可压缩
    • 不可压缩
  • 粘性流动：所有流体都有粘度，因此粘性流动对于连续介质流体力学的研究至关重要
    • 层流
      • 粘性可压缩流动
      • 粘性不可压缩流动
    • 湍流
      • 粘性可压缩流动
      • 粘性不可压缩流动
    • （边界层内的流动${\tau }_{yx}=\mu \frac{du}{dy}$）
• 层流和湍流
  • 层流流型：流动结构是薄片或分层流动的
  • 湍流流型：流动结构是紊乱的，在平均流动的基础上叠加了流体质点的三维运动
    • $Re=\frac{\rho UD}{\mu }$
    • 一般而言，雷诺数大于2300为湍流，雷诺数小于2300为层流
• 可压缩流动和不可压缩流动
  • 不可压缩流动：流动过程中密度变化很小或者相对不很重要的流动
  • 可压缩流动：流动过程中密度的变化起主导作用，如高速气体流动
    • $M=\frac{V}{c}$：马赫数，用以判断流动速度，其中$c$为音速
    • 马赫数小于0.3时的流动可以看作是不可压缩流动。工程上气速小于100m/s的流动均可以看作不可压缩流动。

总结

概念：

连续性介质假设、一点的特性参数、标量、矢量、定常流动、截面均匀流、迹线、脉线、流线、流管、流丝、体积力、表面力、牛顿型流体、粘度、运动粘度、粘性流动、无粘性流动、层流、湍流、可压缩流动、不可压缩流动、马赫数