一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）

要解决的问题

在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。比如我们有一组观测数据$(x_i,y_i)$（一维），通过一些数据分析我们猜测$y$和$x$之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为：$f(x)=kx+b$

这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。类似的，假如模型有$n$个参数，我们只需要观测$n$组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。

但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测$n$组数据$(x_1,y_1)..,(x_n,y_n)$，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。

于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？

早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。

为什么就是误差平方而不是其它的，这个问题连欧拉、拉普拉斯都未能成功回答，后来是高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了确实是使误差平方和最小的情况下系统是最优的。理论的证明也并不难，如果你了解了会有更深刻的认识，限于篇幅我会写在另外一篇博客。

按照勒让德的最佳原则，于是就是求：
$$L=\sum _1^n{\left(y_i-f(x)\right)}^2$$
这个目标函数取得最小值时的函数参数，这就是最小二乘法的思想，所谓“二乘”就是平方的意思。从这里我们可以看到，最小二乘法其实就是用来做函数拟合的一种思想。

至于怎么求出具体的参数那就是另外一个问题了，理论上可以用导数法、几何法，工程上可以用梯度下降法。下面以最常用的线性回归为例进行推导和理解。

线性回归

线性回归因为比较简单，可以直接推导出解析解，而且许多非线性的问题也可以转化为线性问题来解决，所以得到了广泛的应用。甚至许多人认为最小二乘法指的就是线性回归，其实并不是，最小二乘法就是一种思想，它可以拟合任意函数，线性回归只是其中一个比较简单而且也很常用的函数，所以讲最小二乘法基本都会以它为例。

下面我会先用矩阵法进行推导，然后再用几何法来帮助你理解最小二乘法的几何意义。

矩阵解法

线性回归定义为：$h_{\theta }\left(x_1,x_2,\dots x_{n-1}\right)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+\dots +{\theta }_n{x}_{n-1}$（$\theta$为参数）假设现在有$m$个样本，每个样本有$n-1$维特征，将所有样本点代入模型中得：
$$\begin{array}{l}{h}_1={\theta }_0+{\theta }_1{x}_{1,1}+{\theta }_2{x}_{1,2}+\dots +{\theta }_{n-1}{x}_{1,n-1}\\ h_2={\theta }_0+{\theta }_1{x}_{2,1}+{\theta }_2{x}_{2,2}+\dots +{\theta }_{n-1}{x}_{2,n-1}\\ ⋮\\ h_m={\theta }_0+{\theta }_1{x}_{m,1}+{\theta }_2{x}_{m,2}+\dots +{\theta }_{n-1}{x}_{m,n-1}\end{array}$$为方便用矩阵表示，我们令$x_0=1$，于是上述方程可以用矩阵表示为：
$$\mathbf{h}=\mathbf{X}\theta$$其中，$\mathbf{h}$为mx1的向量, 代表模型的理论值，$\theta$ 为nx1的向量，$X$为mxn维的矩阵，$m$代表样本的个数,$n$代表样本的特征数，于是目标损失函数用矩阵表示为：
$$J(\theta )=\Vert \mathbf{h}-\mathbf{Y}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{X}\theta -\mathbf{Y}{\Vert }^2=(\mathbf{X}\theta -\mathbf{Y}{)}^T(\mathbf{X}\theta -\mathbf{Y})$$其中$\mathbf{Y}$是样本的输出向量, 维度为mx1。

根据高数知识我们知道函数取得极值就是导数为0的地方，所以我们只需要对损失函数求导令其等于0就可以解出$\theta$。矩阵求导属于矩阵微积分的内容，我也是现学的(…，这里先介绍两个用到的公式：
$$\frac{\partial x^{T}a}{\partial x}=\frac{\partial a^{T}x}{\partial x}=a$$$$\frac{\partial x^{T}Ax}{\partial x}=Ax+A^{T}x$$如果矩阵A是对称的：$$Ax+A^{T}x=2Ax$$对目标函数化简：
$$J(\theta )={\theta }^T{X}^{T}X\theta -{\theta }^T{X}^{T}Y-Y^{T}X\theta +Y^{T}Y$$求导令其等于0：$$\frac{\partial }{\partial \theta }J(\theta )=2X^{T}X\theta -2X^{T}Y=0$$解得 $\theta ={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}Y$，经过推导我们得到了$\theta$的解析解，现在只要给了数据，我们就可以带入解析解中直接算出$\theta$。

几何意义

几何意义会直观的帮助你理解最小二乘法究竟在干什么。首先先来解释一下矩阵乘法的几何意义，对于一个方程组$Ax$，我们可以看做是$x$对矩阵$A$的列向量的线性组合，比如：

$$\{\begin{array}{l}1\times x_1+x_2=3\\ -1\times x_1+x_2=1\end{array}\iff \left[\begin{array}{ll}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right]\iff A\times x=b$$
可以看作：
$$\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\times x_1+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\times x_2=\left[\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right]\iff a_1\times x_1+a_2\times x_2=b$$
画在坐标轴上可以看到，向量$\mathbf{b}$其实就是向量${\mathbf{a}}_1$与${\mathbf{a}}_2$的线性组合，因为他们都是在一个平面上，显然是有解的。

但是如文章开头所说，由于存在观测误差，我们往往会做多余观测，比如要拟合一次方程 $y=kx+b$，我们可能观测了三个点（0,2）,（1,2）,（2,3），写成矩阵形式如下(为表述方便，用x1代替k，x2代替b )：
$$\{\begin{array}{l}1\times x_1+x_2=2\\ 0\times x_1+x_2=2\\ 2\times x_1+x_2=3\end{array}\iff \left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2\\ 2\\ 3\end{array}\right]\iff A\times x=b$$
表示成线性组合的方式：
$$\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]\times x_1+\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\times x_2=\left[\begin{array}{l}2\\ 2\\ 3\end{array}\right]\iff a_1\times x_1+a_2\times x_2=b$$

画在图中如下：

从图中我们可以看到，无论 ${\mathbf{a}}_1$ 和 ${\mathbf{a}}_2$ 怎么线性组合都不可能得到 $\mathbf{b}$，因为 ${\mathbf{a}}_1$ 和 ${\mathbf{a}}_2$ 的线性组合成的向量只能落在它们组成的子空间 $\mathbf{S}$ 中。

退而求其次，虽然我们不可能得到 $\mathbf{b}$，但在$\mathbf{S}$上找一个和$\mathbf{b}$最接近的总可以吧。那么将$\mathbf{b}$投影 在平面$\mathbf{S}$上得到的向量$\mathbf{p}$就是和$\mathbf{b}$最接近的向量（把向量看作点，最接近的意思就是点到平面某点取得距离最短，自然就是投影所成的交点）。

换句话说，方程组$Ax=b$虽然无解，也就是b不在A的列空间中，但是我们可以在$A$的列空间中找到一个和$b$最接近的向量$p$，$p$就是$b$在$A$的列空间中的投影，通过求$Ax=p$的解，就是原方程的最小二乘解。

由几何意义可知垂线$e=b-p=b-Ax$正交于平面 $\mathbf{S}$，也就是$a_1^{T}e=0,a_2^{T}e=0$，写成矩阵形式：
$$\begin{array}{c}{A}^{T}e=A^T(b-Ax)=A^{T}b-A^{T}Ax=0\end{array}$$解得 $x={\left(A^{T}A\right)}^{-1}{A}^{T}b$，可以看到推导结果和矩阵法一样。从上面可以看到，最小二乘法的几何意义就是求解 $b$ 在$A$的列向量空间中的投影。

到这里最小二乘法的推导已经完成了，但是我们忽略了一个问题，就是假如$A^{T}A$不可逆怎么办？这个问题我会另写一篇博客进行介绍。

以上就是全部内容。

Reference
https://www.cnblogs.com/pinard/p/5976811.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38128785
https://www.zhihu.com/question/304164814/answer/549972357

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