《视觉SLAM十四讲》第二版第四讲习题_超详细推导

前言

书中这部分讲的太快，并且未能和已有知识做足够的联系，乍看起来还是有点不好理解的。
但如果联系了实际的物理意义以及向量叉乘等已有知识后，就变得好理解了。
另外，推导公式的确有利于理解，作者或许也是为此才出的这些习题吧。
推导过程中用到的知识：
1、分块矩阵运算。
2、向量叉积性质，二重叉积、反交换律等。
文中推导，均是笔者手推，水平有限，如有纰漏，还望不吝赐教。

1、验证SO(3)、SE(3)和Sim(3)关于乘法成群。

（1）SO(3)为三纬旋转矩阵构成的特殊正交群。
根据群的定义（一种结合加一种运算），书中定义式式4.1可以表示集合，运算选择乘法；
将以上依次代入性质群性质1-4，性质12显然满足；选幺元为33单位阵$I_{3\times 3}$，性质34显然也满足；
（2）SE(3)为变换矩阵构成的特殊欧氏群。
根据群的定义，书中定义式式4.2表示群的集合，运算选择乘法；
性质1 显然。
性质2 矩阵的结合律也容易得到（可以展开看看，一目了然）。
性质3 选幺元为44单位阵$I_{4\times 4}$，显然满足。
性质4 根据分块矩阵求逆公式${\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right]$
令$T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{R}^{-1}& -R^{-1}t\\ 0^T& 1\end{array}\right]$，
显然$T^{-1}$也属于SE(3)，并且$T{T}^{-1}=I_{4\times 4}$，于是性质4满足；
（3）仿照（2）很容易可以验证。

2、验证$({\mathbb{R}}^3,\mathbb{R},\times )$构成李代数。

将此李代数视为3维向量，利用向量相关性质，性质1-3均容易得到。
对于性质4，利用向量二重叉积公式，将下面三式相加，立得。

值得一提的是，向量点积结果为标量，满足交换律。

3、验证$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$和$\mathfrak{s}\mathfrak{e}(3)$满足李代数要求的性质。

（1）$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$
先来看看其李括号是啥意思

根据上面的推导，结合问题2，性质1-4容易得到。
（2）$\mathfrak{s}\mathfrak{e}(3)$
性质1-3容易得到，讨论性质4。
其中利用了（1）中所推导的李代数$\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$的李括号为矢量叉积。

4、验证性质（4.20）和（4.21）

（1）性质（4.20）直接展开即可得到。
（2）性质（4.21）也很明显，书中写的比较清楚了，
记得用$a^T{a}^{\wedge }=0_{3\times 1}$就行了，直接展开立即得到。

5、证明$R{p}^{\wedge }{R}^T=(Rp{)}^{\wedge }$

这实际属于向量的相似变换，
可以参考我讲角速度相似变换定理的博文: 角速度的相似变换定理的证明.

6、

（1）对于SO(3)的伴随性质
根据P79的（4.22）,

(2)对于SE(3)的伴随性质
Step1 由定义，可得

Step2 等式左边

Step3 等式右边

其中，

于是等式右边化简为，

Step4 比较等式左右两边

7、

（1）SO(3)

其中隐含了扰动是小量，在进行指数映射忽略了二阶小量，可以回到定义式，一目了然。
（2）SE(3)

8、cmake的find_package()指令

可参考博文：: Cmake语句find_package()函数.