最大流问题

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目录

1 最大流问题的数学描述

1.1 网络中的流 定义                   可行流（feasible flow）

1.2 最大流问题             用线性规划描述最大流问题                 整流定理

1.3 单源和单汇运输网络                               多源多汇网络 转化成单源单汇网络

2 最大流和最小割关系                         割的容量

3 最大流的一种算法—标号法              （A）标号过程：             （B）增流过程                  网络最大流 x 的求解步骤

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1 最大流问题的数学描述

1.1 网络中的流 定义

在以V 为节点集， A 为弧集的有向图G = (V, A) 上定义如下的权函数：

（i） L : A → R 为孤上的权函数，弧 (i, j)∈ A 对应的权 L(i, j) 记为 ，称为孤 (i, j) 的容量下界（lower bound）；

（ii）U : A → R 为弧上的权函数，弧(i, j)∈ A对应的权U(i, j) 记为 ，称为孤 (i, j) 的容量上界或容量（capacity）；

（iii） D :V → R 为顶点上的权函数，节点i ∈V 对应的权 D(i) 记为  ，称为顶 点i 的供需量（supply／demand）；

此时所构成的网络称为流网络，可以记为 N = (V, A, L,U,D) 。 由于我们只讨论V, A 为有限集合的情况，所以对于弧上的权函数 L,U 和顶点上的 权函数 D ，可以直接用所有孤上对应的权和顶点上的权组成的有限维向量表示，因此 L,U, D 有时直接称为权向量，或简称权。由于给定有向图G = (V, A) 后，我们总是可 以在它的弧集合和顶点集合上定义各种权函数，所以流网络一般也直接简称为网络。

在流网络中，弧(i, j) 的容量下界 和容量上界表示的物理意义分别是：通过该 弧发送某种“物质”时，必须发送的最小数量为 ，而发送的最大数量为 。顶点i ∈V 对应的供需量则表示该顶点从网络外部获得的“物质”数量（ > 0时），或从该顶 点发送到网络外部的“物质”数量（< 0 时）。下面我们给出严格定义。

可行流（feasible flow）

可见，当 di > 0时，表示有di 个单位的流量从网络外部流入该顶点，因此顶点i 称 为供应点（supply node）或源（source），有时也形象地称为起始点或发点等；当di < 0 时，表示有|di | 个单位的流量从该顶点流失到网络外部（或说被该顶点吸收），因此顶 点i 称为需求点（demand node）或汇（sink），有时也形象地称为终止点或收点等；当 di = 0时，顶点i 称为转运点（transshipment node）或平衡点、中间点等。此外，根据 （1）可知，对于可行网络，必有

也就是说，所有节点上的供需量之和为 0 是网络中存在可行流的必要条件

1.2 最大流问题

考虑如下流网络 N = (V, A,U,D)：节点 s 为网络中唯一的源点，t 为唯一的汇点， 而其它节点为转运点。如果网络中存在可行流 f ，此时称流 f 的流量（或流值，flow value）为 （根据（3），它自然也等于 −  ），通常记为v 或v( f ) ，即

对这种单源单汇的网络，如果我们并不给定 和  （即流量不给定），则网络一 般记为 N = (s,t,V, A,U) 。最大流问题（ maximum flow problem ）就是在 N = (s,t,V, A,U) 中找到流值最大的可行流（即最大流）。我们将会看到，最大流问题 的许多算法也可以用来求解流量给定的网络中的可行流。也就是说，当我们解决了最大 流问题以后，对于在流量给定的网络中寻找可行流的问题，通常也就可以解决了。

用线性规划描述最大流问题

因此，用线性规划的方法，最大流问题可以形式地描述如下：

【定义】 如果一个矩阵 A 的任何子方阵的行列式的值都等于0，1或 −1，则称 A 是 全幺模的(totally unimodular TU，又译为全单位模的)，或称 A 是全幺模矩阵。

整流定理

【定理 7】（整流定理） 最大流问题所对应的约束矩阵是全幺模矩阵。若所有弧容量 均为正整数，则问题的最优解为整数解。 最大流问题是一个特殊的线性规划问题。我们将会看到利用图的特点，解决这个问 题的方法较之线性规划的一般方法要方便、直观得多。

1.3 单源和单汇运输网络

多源多汇网络 转化成单源单汇网络

实际问题往往是多源多汇网络，为了计算的规格化，可将多源多汇网络G 化成单 源单汇网络G' 。设 X 是G 的源，Y 是G 的汇，具体转化方法如下：

（i）在原图G 中增加两个新的顶点 x 和 y ，令为新图G' 中之单源和单汇，则G 中 所有顶点V 成为G' 之中间顶点集。

（ii）用一条容量为∞的弧把 x 连接到 X 中的每个顶点。

（iii）用一条容量为∞的弧把Y 中的每个顶点连接到 y 。 G 和G' 中的流以一个简单的方式相互对应。若 f 是G 中的流，则由

2 最大流和最小割关系

割的容量

则在这条可增广轨上每条前向弧的流都可以增加一个量δ ，而相应的后向弧的流可减 少δ ，这样就可使得网络的流量获得增加，同时可以使每条弧的流量不超过它的容量， 而且保持为正，也不影响其它弧的流量。总之，网络中 f 可增广轨的存在是有意义的， 因为这意味着 f 不是最大流。

3 最大流的一种算法—标号法

标号法是由 Ford 和 Fulkerson 在 1957 年提出的。用标号法寻求网络中最大流的基 本思想是寻找可增广轨，使网络的流量得到增加，直到最大为止。即首先给出一个初始 流，这样的流是存在的，例如零流。如果存在关于它的可增广轨，那么调整该轨上每条 弧上的流量，就可以得到新的流。对于新的流，如果仍存在可增广轨，则用同样的方法 使流的值增大，继续这个过程，直到网络中不存在关于新得到流的可增广轨为止，则该 流就是所求的最大流。

这种方法分为以下两个过程：

A.标号过程：通过标号过程寻找一条可增广轨。

B.增流过程：沿着可增广轨增加网络的流量。

这两个过程的步骤分述如下。

（A）标号过程：

（B）增流过程

网络最大流 x 的求解步骤

求网络 N = (s,t,V, A,U) 中的最大流 x 的算法的程序设计具体步骤如下：

对每个节点 j ，其标号包括两部分信息 (pred( j),maxf(j))

该节点在可能的增广路中的前一个节点 pred( j) ，以及沿该可能的增广路到该节点为止 可以增广的最大流量 maxf( j)。

并将 j 加入 LIST 中。

例 17 用 Ford-Fulkerson 算法计算如图 6 网络中的最大流，每条弧上的两个数字分 别表示容量和当前流量。

解 编写程序如下：

clc,clear
u(1,2)=1;u(1,3)=1;u(1,4)=2;u(2,3)=1;u(2,5)=2;
u(3,5)=1;u(4,3)=3;u(4,5)=3;
f(1,2)=1;f(1,3)=0;f(1,4)=1;f(2,3)=0;f(2,5)=1;
f(3,5)=1;f(4,3)=1;f(4,5)=0;
n=length(u);list=[];maxf(n)=1;
while maxf(n)>0
maxf=zeros(1,n);pred=zeros(1,n);
list=1;record=list;maxf(1)=inf;
 % list是未检查邻接点的标号点，record是已标号点
while (~isempty(list))&(maxf(n)==0)
    flag=list(1);list(1)=[];
    label1= find(u(flag,:)-f(flag,:));
    label1=setdiff(label1,record);
    list=union(list,label1);
    pred(label1)=flag;
    maxf(label1)=min(maxf(flag),u(flag,label1)...
    -f(flag,label1));
    record=union(record,label1);
    label2=find(f(:,flag));
    label2=label2';
    label2=setdiff(label2,record);
    list=union(list,label2);
    pred(label2)=-flag;
    maxf(label2)=min(maxf(flag),f(label2,flag));
    record=union(record,label2);
 end
     if maxf(n)>0
        v2=n; v1=pred(v2);
        while v2~=1
            if v1>0
                f(v1,v2)=f(v1,v2)+maxf(n);
            else
                v1=abs(v1);
                f(v2,v1)=f(v2,v1)-maxf(n);
            end
            v2=v1; v1=pred(v2);
        end
    end
end
f 

例18 现需要将城市 s 的石油通过管道运送到城市t ，中间有4个中转站  v1 ,v2 ,v3 和  v4 ，城市与中转站的连接以及管道的容量如图7所示，求从城市 s 到城市t 的最大流。

解 使用最大流的数学规划表达式，编写LINGO程序如下：

model:
sets:
nodes/s,1,2,3,4,t/;
arcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,f;
endsets
data:
c=8 7 9 5 2 5 9 6 10;
enddata
n=@size(nodes); !顶点的个数;
max=flow;
@for(nodes(i)|i #ne#1 #and# i #ne# n:
    @sum(arcs(i,j):f(i,j))=@sum(arcs(j,i):f(j,i)
@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:f(i,j))=flow;
@sum(arcs(i,j)|j #eq# n:f(i,j))=flow;
@for(arcs:@bnd(0,f,c));
end 

在上面的程序中，采用了稀疏集的编写方法。下面介绍的程序编写方法是利用赋权邻 接矩阵，这样可以不使用稀疏集的编写方法，更便于推广到复杂网络。

model:
sets:
nodes/s,1,2,3,4,t/;
arcs(nodes,nodes):c,f;
endsets
data:
c=0;
@text('fdata.txt')=f;
enddata
calc:
c(1,2)=8;c(1,4)=7;
c(2,3)=9;c(2,4)=5;
c(3,4)=2;c(3,6)=5;
c(4,5)=9;c(5,3)=6;c(5,6)=10;
endcalc
n=@size(nodes); !顶点的个数;
max=flow;
@for(nodes(i)|i #ne#1 #and# i #ne# n:
    @sum(nodes(j):f(i,j))=@sum(nodes(j):f(j,i)));
@sum(nodes(i):f(1,i))=flow;
@sum(nodes(i):f(i,n))=flow;
@for(arcs:@bnd(0,f,c));
end

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