P1006 传纸条——dp，减少维度数，及滚动数组

题目：https://www.luogu.org/problem/P1006

文章前半部分讲常规解法，后半部分给出了采用滚动数组的时间复杂度O((n+m)*n*m)、空间复杂度O(n*m)的解法。

可以找两条路径，都是从（1，1）出发到（n，m），显而易见，两路径最后汇集于（n，m），那么之前的状态应该是两个不重合的点，因此引入状态d[x1][y1][x2][y2]。状态转移方程详见代码。

下面有两种解法：

解法一关键代码：

for(int i=1;i<=m;i++)  
        for(int j=1;j<=n;j++)
        	for(int k=1;k<=m;k++) 
            	for(int t=1;t<=n;t++){
            		int ll=d[i][j-1][k][t-1];
            		int lu=d[i][j-1][k-1][t];
            		int ul=d[i-1][j][k][t-1];
            		int uu=d[i-1][j][k-1][t];
            		d[i][j][k][t]=max(max(ll,lu),max(ul,uu))+a[i][j]+a[k][t];
            		if(i==k&&j==t)d[i][j][k][t]-=a[k][t];
            	}

也就是说，需要就两个点是否重合进行讨论。

这里的困惑在于，最优答案中的两条路径在中间过程中会不会重合呢？是不会的！用图简单说明如下：

如图一所示，两条路径一为红二为蓝，产生交汇，则改成图二，因为矩阵所有点的值非负，所以图三的答案比图一的答案大。

于是就有了AC代码一。

解法二关键代码：

for(int i=1;i<=m;i++) 
        for(int j=1;j<=n;j++)
        	for(int k=1;k<=i;k++)
            	for(int t=j+1;t<=n;t++){
            		int ll=d[i][j-1][k][t-1];
            		int lu=d[i][j-1][k-1][t];
            		int ul=d[i-1][j][k][t-1];
            		int uu=d[i-1][j][k-1][t];
            		d[i][j][k][t]=max(max(ll,lu),max(ul,uu))+a[i][j]+a[k][t];
            	}

这里在设置循环变量k与t时作了限制，保证了点（k，t）始终不在点（i，j）的左边及下方，并且不重合。

最终答案应该是d[n][m-1][n-1][m]。

需要说明的是，这种解法的状态定义d[x1][y1][x2][y2]，要求两点不能重合！而且它的子状态的个数远远少于解法一的子状态。

 

解法三：只用开三维数组 d[t][x1][x2]

因为点的横纵坐标和 t 取值属于[2，m+n]，那么再引入两个点的横坐标x1与x2，则这两个点的纵坐标为t-x1与t-x2。当然需要注意纵坐标属于[1，n]。给出关键代码如下：

for(int i=1;i<=m+n;i++) //横纵坐标和 
        for(int j=1;j<=m;j++) //i-j即为第一点的纵坐标 
            for(int k=1;k<=m;k++) //i-k即为第二点的纵坐标 
                {
                    if(i-j<1||i-j>n||i-k<1||i-k>n) continue;//横坐标限定
                    int d1=max(d[i-1][j-1][k-1],d[i-1][j-1][k]);//上上，上左
                    int d2=max(d[i-1][j][k-1],d[i-1][j][k]);//左上，左左 
                    d[i][j][k]=max(d1,d2)+a[j][i-j]+a[k][i-k];
                    if(j==k) d[i][j][k]-=a[j][i-j]; 
                }

答案是d[m+n][n][m]。

再前进一步，在解法三的基础上，可以发现循环变量i可以滚动掉，看懂下面的关键代码需要对完全背包、01背包十分理解才行。

解法四关键代码：

for(int i=1;i<=m+n;i++) //横纵坐标和。顺序
        for(int j=m;j>=1;j--) //i-j即为第一点的纵坐标。逆序
            for(int k=m;k>=1;k--) //i-k即为第二点的纵坐标。逆序
                {
                    if(i-j<1||i-j>n||i-k<1||i-k>n) continue;
                    int d1=max(d[j-1][k-1],d[j-1][k]);//上上，上左
                    int d2=max(d[j][k-1],d[j][k]);//左上，左左 
                    d[j][k]=max(d1,d2)+a[j][i-j]+a[k][i-k];
                    if(j==k) d[j][k]-=a[j][i-j]; //路径点重合
                }

AC代码一（对应解法一）：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
int d[51][51][51][51];
int a[51][51];
 
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=m;i++)  //阶段
        for(int j=1;j<=n;j++)
        	for(int k=1;k<=m;k++) //状态
            	for(int t=1;t<=n;t++){
            		int ll=d[i][j-1][k][t-1];
            		int lu=d[i][j-1][k-1][t];
            		int ul=d[i-1][j][k][t-1];
            		int uu=d[i-1][j][k-1][t];
                    //决策
            		d[i][j][k][t]=max(max(ll,lu),max(ul,uu))+a[i][j]+a[k][t];
            		if(i==k&&j==t)d[i][j][k][t]-=a[k][t];
            	}
    printf("%d\n",d[m][m][m][n]);                
    return 0;   
}

AC代码二（对应解法二）：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
int d[51][51][51][51];
int a[51][51];
 
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=m;i++)//阶段 
        for(int j=1;j<=n;j++)
        	for(int k=1;k<=i;k++)//状态 
            	for(int t=j+1;t<=n;t++){
            		int ll=d[i][j-1][k][t-1];
            		int lu=d[i][j-1][k-1][t];
            		int ul=d[i-1][j][k][t-1];
            		int uu=d[i-1][j][k-1][t];
            		//决策
            		d[i][j][k][t]=max(max(ll,lu),max(ul,uu))+a[i][j]+a[k][t];
            	}
    printf("%d\n",d[m][n-1][m-1][n]);              
    return 0;   
}

AC代码三（解法三）：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
int d[102][51][51];
int a[51][51];
 
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=m+n;i++) //横纵坐标和 
        for(int j=1;j<=m;j++) //i-j即为第一点的纵坐标 
            for(int k=1;k<=m;k++) //i-k即为第二点的纵坐标 
                {
                    if(i-j<1||i-j>n||i-k<1||i-k>n) continue;
                    int d1=max(d[i-1][j-1][k-1],d[i-1][j-1][k]);//上上，上左
                    int d2=max(d[i-1][j][k-1],d[i-1][j][k]);//左上，左左 
                    d[i][j][k]=max(d1,d2)+a[j][i-j]+a[k][i-k];
                    if(j==k) d[i][j][k]-=a[j][i-j]; //路径点重合
                }
    printf("%d\n",d[m+n][m][m]);                
    return 0;   
}

AC代码四（解法四）：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
int d[51][51];
int a[51][51];
 
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=m+n;i++) //横纵坐标和。顺序 
        for(int j=m;j>=1;j--) //i-j即为第一点的纵坐标。逆序 
            for(int k=m;k>=1;k--) //i-k即为第二点的纵坐标。逆序 
                {
                    if(i-j<1||i-j>n||i-k<1||i-k>n) continue;
                    int d1=max(d[j-1][k-1],d[j-1][k]);//上上，上左
                    int d2=max(d[j][k-1],d[j][k]);//左上，左左 
                    d[j][k]=max(d1,d2)+a[j][i-j]+a[k][i-k];
                    if(j==k) d[j][k]-=a[j][i-j]; //路径点重合
                }
    printf("%d\n",d[m][m]);                
    return 0;   
}