树链剖分详解【后期会不断更新】

知识准备

1.DFS；
2.线段树。
相信DFS大家都会，估计只有线段树了。
如果有不会的请点这里：线段树系列文章（未完）

何谓树链剖分？

就是将一棵树分成许多条链，使得树中所有节点都被包含在这些链里。

（换句话说：就是一种使你的代码瞬间增加1KB的算法。）
#怎么剖分？
1.随便剖分

随便找一个节点，将它作为链头向下剖分。

2.随机剖分

随便剖分+一点特判。

3.轻重链剖分

将重边（后面会讲）连成链。

哪种方法好？

显然，对于随机数据，三种方法没什么区别。

但是对于第一、二种方法，若使用刻意构造的数据去测试，则会被卡掉。

综上所述，为了保险起见，也为了算法稳定性，我们选择轻重链剖分。

轻重链剖分

Step1：乱七糟八的定义

1. 重儿子：对于每个节点的儿子，若该儿子所在的子树的大小是所有儿子中最大的，则称该儿子为重儿子。每个节点有且只有一个重儿子。

2. 轻儿子：除了重儿子的节点。

3. 重边：连接重儿子与其父亲节点的边。

4. 轻边：连接轻儿子与其父亲节点的边。

5. 重链：由重边连接而成的链。注意链内有且只有重边。

相信你也看不懂（hhh），举个例子吧：

如图，在这棵树中：红框框着的点就是重儿子，紫色边表示重边，黑色边表示轻边。可以看出两条重链：{1,2,5,6}和{3,8,9}。而且，我们发现，重链的起点都是轻儿子。

Step2：重标号？

然后，我们可以对所有节点进行重编号（优先重儿子），就会得到如下的结果：（蓝色点即为新标号）

我们发现：重链中，标号都是连续的。于是，我们可以想象一下：将所有重链按链首标号进行排序，并拉直平放起来；我们就得到了一个线性的序列。

并且：我们可以发现一些性质：

性质一：对于两个节点u，v，若v是u的轻儿子，则有：siz[v]<=siz[u]/2，若v是u的重儿子，则：siz[v]>siz[u]/2；

性质二：对于一个任意节点u，它到根节点的路径最多有${\log }_{2}N$条轻边，${\log }_{2}N$条重路径。

Step3：数据结构：线段树

接下来就很玄学了

由上一步可知，我们得到了一个序列，于是，我们就可以把这一堆东西扔给线段树了。

我们可以进行权值修改、路径查询等操作，而做到这一切，都只需要$O(N{\log }_{2}N)$的时间复杂度。

实现

Step1：混乱的数组

先扔来一堆数组名字：

1. val[1...N]：记录每个节点的权值（读入时）；
2. siz[1...N]：记录以该节点为根的子树的大小；
3. top[1...N]：记录每个节点所在重链的链首；
4. son[1...N]：记录每个节点的重儿子；
5. dep[1...N]：记录该节点在树中的深度；
6. tid[1...N]：记录每个节点的新标号；
7. rnk[1...N]：记录新标号所对应的节点，是tid的反函数；
8. fa[1...N]:记录每个节点的父亲节点。

晕了对吧？别慌，其实都非常有用的，理解了就非常容易。

Step2：第一次DFS

这次DFS我们主要处理一些基础信息，即：siz、son、dep和fa四个数组。

这种事情应该不会很困难吧？直接粘代码了。

void DFS1(int u,int f,int d) {
    dep[u]=d,fa[u]=f,siz[u]=1;
    for(Tnode *p=G[u];p!=NULL;p=p->nxt) {
        int v=p->v;
        if(v==f)continue;
        val[v]=p->w;
        DFS1(v,u,d+1);
        siz[u]+=siz[v];
        if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]])
            son[u]=v;
    }
}

顺便粘上一份我使用的邻接表：

struct Tnode {
	int v,w;
	Tnode *nxt;
}e[2*Maxn+5];
Tnode *G[Maxn+5],*ecnt=&e[0];
void AddEdge(int u,int v,int w) {
    Tnode *p=++ecnt;
    p->v=v,p->w=w;
    p->nxt=G[u],G[u]=p;
     
    p=++ecnt;
    p->v=u,p->w=w;
    p->nxt=G[v],G[v]=p;
}

Step3：第二次DFS

这次DFS主要处理剩下的信息：top、tid和rnk三个数组。

我们在DFS传入一个参数tp，表示当前所在重链的链首，若遇到轻儿子则将tp设为该节点并继续往下传。

在处理tid，rnk时，我们开一个全局变量dcnt，每次进DFS时加一，就可以处理出这些信息了。代码如下：

void DFS2(int u,int tp) {
    top[u]=tp,tid[u]=++dcnt,rnk[dcnt]=u;
    if(son[u]==-1)
        return;
    DFS2(son[u],tp);
    for(Tnode *p=G[u];p!=NULL;p=p->nxt) {
        int v=p->v;
        if(v==son[u]||v==fa[u])
            continue;
        DFS2(v,v);
    }
}

做完这些后，我们就完成了整个树链剖分的实现。

剩下的就是各种数据结构的事情了。

例题选讲

例题1：SPOJ QTREE Query on a Tree