指数分布的期望和方差推导

从前期的文章《泊松分布》中，我们知道泊松分布的分布律是：

P(X(t)=k)=(λt)ke−λtk!

λ是单元时间内事件发生的次数。如果时间间隔t内事件发生的次数为0，则：

P(X>t)=(λt)0e−λt0!=e−λt

反过来，在时间间隔t内发生事件的概率，就是1减去上面的值：

P(X<=t)=1−e−λt

这就变成了时间间隔t在参数λ下的分布函数。根据概率论知识，我们知道，分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分。对上述的分布函数进行求导，得到：

f(t)=λe−λt

这就是 《指数分布》的概率密度函数。也就是说指数分布是可以从泊松分布推导出来的。

对于指数分布的期望和方差，推导如下：
首先，指数分布属于连续型随机分布，因此，其期望E(X)为：

E(X)=∫∞−∞|x|f(x)dx=∫∞0xf(x)dx=∫∞0x⋅λe−λxdx=1λ∫∞0λxe−λxdλx

令 u=λx ，则：

E(X)=1λ∫∞0ue−udu=1λ[(−e−u−ue−u)|(∞,0)]=1λ

对于指数分布的方差D(X)：

D(X)=E(X2)−(E(X))2

其中：

E(X2)=∫∞−∞|x2|f(x)dx=∫∞0x2f(x)dx=∫∞0x2⋅λe−λxdx

E(X2)=1λ2∫∞0λxλxe−λxdλx

令 u=λx ，则：

E(X2)=1λ2∫∞0u2e−udu=1λ2[(−2e−u−2ue−u−u2e−u)|(∞,0)]=1λ2⋅2=2λ2

所以：

D(X)=E(X2)−(E(X))2=2λ2−(1λ)2=1λ2