关于瑕积分的几道例题

3(4)

$${\int }_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx收敛吗？$$

解答

别老盯着分母，这里有两个可能的瑕点哦！只要在某点的$\forall$区间内$f(x)=\infty$的都可以叫瑕点了

• 先看$x=1,x=0$是不是真的都是瑕点$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\ln x}{1-x}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }-\frac{1}{x}=-1̸=\infty$$
  $\Rightarrow x=1非瑕点$
• $x=0$肯定是瑕点
• $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\ln x}{x-1}=0\Rightarrow 收敛$$

3(7)

讨论${\int }_0^1\frac{1}{x^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}dx$收敛性

解答(存疑)

• $x\in (0,1]$时，$\frac{1}{x}\ge 1$，则有$$\left|\frac{1}{x^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}\right|\le \left|\frac{1}{x^{\alpha }}\right|$$
• 所以，当$\alpha \in (0,1)时$ $${\int }_0^1\frac{1}{x^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}dx收敛$$
• $$|\frac{1}{x^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}|>\frac{1}{x^{\alpha -1}}why??$$ $\Rightarrow \alpha \ge 2$时，积分发散？？只能说不绝对收敛吧，凭啥就发散了？
• $1\le \alpha <2时，由狄屎判别法\Rightarrow$积分条件收敛？？？
  怎么就得到了，说清楚呀！哪个积分有界？${\int }_u^1\sin \frac{1}{x}dx?可是\frac{1}{x^{\alpha }}$在$x\to 0^{+}$时不趋0啊！！！

这个证明的结论可以记住

证明瑕积分$$J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\sin x)dx$$收敛，且$$J=-\frac{\pi }{2}\ln 2$$

证明

• $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}\ln (\sin x)=0$$ $\Rightarrow J收敛$
• 令$t=\frac{\pi }{2}-x\Rightarrow$ $$J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\cos x)dx$$
• $$2J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\sin x\cos x)dx$$ $$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \frac{1}{2}dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\sin 2x)dx$$ $$=-\frac{\pi }{2}\ln 2+\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\ln (\sin t)dt$$
• 而$${\int }_0^{\pi }\ln (\sin t)dt=J+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\ln (\sin t)dt$$ $$=J+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\cos x)dx=2J$$
• $$\Rightarrow J=-\frac{\pi }{2}\ln 2$$

应用

证明：$${\int }_0^{\pi }\frac{\theta \sin \theta }{1-\cos \theta }d\theta =2\pi \ln 2$$

证明

• $${\int }_0^{\pi }\frac{\theta \sin \theta }{1-\cos \theta }d\theta ={\int }_0^{\pi }\frac{2\theta \sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}d\theta$$ $$={\int }_0^{\pi }\frac{\theta \cos \frac{\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}d\theta ={\int }_0^{\pi }2\theta d(\ln (\sin \frac{\theta }{2}))$$ $$=2\theta \ln (\sin \frac{\theta }{2}){|}_0^{\pi }-2{\int }_0^{\pi }\ln (\sin \frac{\theta }{2})d\theta$$ $$=-4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln (\sin \theta )d\theta =2\pi \ln 2$$