动态规划——数位dp

数位dp

例题
数位dp实质是记忆化搜索

比如给出一个区间[l,r]
要你求[l,r]中有多少个数是3的倍数

for(int i=l;i<=r;i++){
   if(i%3==0) ans++;
}

但是这样时间复杂度为o（r-l-1）接近于O(n)，但如果判断的条件比较复杂，很容易超时
所以我们考虑数位dp

什么是数位dp
数位dp是对每个数位单独考虑，枚举可能的状态，记录一个答案，在结尾进行记录，方便记忆化，然后return 就行了

ll dfs(int dep,bool limit,int a,int b,int c,int d){
	if(dep==0) return 1;
	if(!limit&&dp[dep][a][b][c][d]!=-1) return dp[dep][a][b][c][d];
	int up=limit?num[dep]:9;
	ll res=0;
	for(int i=0;i<=up;i++){
	    if(d==10&&i==0) res+=dfs(dep-1,limit&&i==up,10,10,10,10);
		else
		{
		if(K==2){
			if(i==d) continue;
			 res+=dfs(dep-1,limit&&i==up,b,c,d,i);
		}
		if(K==3){
			if(i==d||i==c) continue;
			res+=dfs(dep-1,limit&&i==up,b,c,d,i);
		}
		if(K==4){
			if(i==b||i==c||i==d) continue;
			res+=dfs(dep-1,limit&&i==up,b,c,d,i);
		}
		if(K==5){
			if(i==a||i==b||i==c||i==d) continue;
			res+=dfs(dep-1,limit&&i==up,b,c,d,i);
		}
	   }
	}
	if(!limit){
		dp[dep][a][b][c][d]=res;	
	}
	return res;
}

具体每道题不一样，要根据题目写状态

注意：

• 记忆化搜索一定要加！limit，因为有上限和无上限方案数是不同的，例如问100~123有多少个数（举例子而已，具体不会有这样的题），如果第二位是1，则发现最后一位有4种填法，更新dp[1][state]=4（ state是题目条件，这里只是举例，并没有条件）但当第二位是2的时候并没有4种填法，造成矛盾
• 有些题目要判断前导0，比如问100~200之间有多少个每个数位上的数字都不同的数（即123，152合法，111,112,221非法），因为不判前导0的话会把0也当数位，（即102是非法的，因为枚举的时候是0102），这时通常用10代替前导0

 if(d==10&&i==0) res+=dfs(dep-1,limit&&i==up,10,10,10,10);

• 一般习惯从$[1,pos]$位，但网上许多题解会从$[0pos-1]$，有所区别
• 一般数位dp要开 long long

答案的套路：$solve（r）-solve（l-1）$