线性筛欧拉函数

概念：对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。

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性质：          若整数a与b（不） 互质，a+b依然与b（不）互质。

1. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=phi(i) * p

2. 如果i mod p ≠ 0, 那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)

（其中p是质数）

证明：

[1,i ]中与i不互质的数是i-phi(i)个，[1,i*p]中是i*p-p*phi(i)个，

又i与i*p没有不同的因数，顾[1,i*p]中与i*p不互质的也是i*p-p*phi(i)个，即（1）证；

因 i mod p !=0且p为质数, 所以i与p互质，

由性质3得phi(i * p)=phi(i) * phi(p)，即（2）证；

另一种形式：

若（N%p==0 && (N/p)%p==0)）则有：phi[N]=phi[N/p]*p

若（N%p==0 && (N/p)%p !=0)）则有：phi[N]=phi[N/p]*(p-1)

（其中p是质数）

 

3. 若a b互质，则  φ(a*b) = φ(a) * φ(b)

4. 若 n 是质数 p 的 k 次幂，则 φ(n) = (p-1)*p^(n-1) 

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欧拉定理：

     对任何两个互质的正整数a, m有   a^ φ(m) ≡ 1(mod m)

费马小定理：

     在欧拉定理里m取素数p时，有    a^(p-1)  ≡ 1(mod p)

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打表法：

int prime[maxn],phi[maxn];
int cnt=0;
bool flag[maxn];
void get_phi(){
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i

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非打表法：

int phi(int n){
    int ans=1;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){  // 可以的话这里换成质数表更佳
        if(n%i==0){
            n/=i;
            ans*=i-1;
            while(n%i==0){
                n/=i;
                ans*=i;
            }
        }
    }
    if(n>1) ans*=n-1;
    return ans;
}

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