组合数学 —— 容斥定理

【概述】

容斥原理是一种较常用的计数方法，其基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

容斥原理核心的计数规则可以记为一句话：奇加偶减

假设被计数的有 A、B、C 三类，那么，A、B、C 类元素个数总和 = A 类元素个数 + B类元素个数 + C类元素个数 - 既是 A 又是 B 的元素个数 - 既是 A 又是 C 的元素个数 - 既是 B 又是 C 的元素个数 + 既是 A 又是 B 且是 C 的元素个数

即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC

当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。

容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数，再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。

【实例】

一个班级有50名学生，进行一次语数英考试，有9人语文满分，12人数学满分，14人英语满分，又知有6人语文、数学同时满分，3人语文、英语同时满分、8人英语、数学同时满分，还有2人三门课全部满分，求：没有一门课满分的有几人？至少一门课满分的有几人？

由题意知：，且：

没有一门课满分的学生集合为：，至少有一门课满分的学生集合为：

使用容斥原理：

即：

【常见应用】

1.求[a,b]中与n互素的个数

问题可转换为区间 [1,b] 中与 n 互素的数的个数减去区间 [1,a-1]中与 n 互素的数的个数，那么问题就是转化为对于 n，求 1~k 中与 n 互质的数有多少个，因此可以先反着来求 1~k 中与 n 不互质的数有多少个。

故对n进行因子分解，然后从1~k中减去不能与n整除的数的个数，然后根据容斥定理奇加偶减，最后答案就是：1~b的元素个数减去1~a-1的元素个数再减去1~b中与n不互质的数的个数加上1~a-1中与n互质的数的个数。

即：b-(a-1)-calculate(b)+calculate(a-1)

bool bprime[N];
LL prime[N],cnt, factor[N],num;
void isprime() {//筛素数
    cnt=0;
    memset(bprime,false,sizeof(bprime));
    for(LL i=2; i

 2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数

对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重复的数，因此需要用到容斥原理

根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...、2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判断由多少种数组成，然后再进行奇加偶减即可

根据容斥原理有：sum=从 m 中选 1 个数得到的倍数的个数-从 m 中选 2 个数得到的倍数的个数 + 从 m 中选 3 个数得到的倍数的个数 - 从 m 中选 4 个数得到的倍数的个数……

那么能被整除的个数就是 sum，不能被整除的个数就是 n-sum

LL GCD(LL a,LL b){
    return !b?a:GCD(b,a%b);
}
LL LCM(LL a,LL b){
    return a/GCD(a,b)*b;
}
LL a[N];
int main(){
    LL n;
    int m;
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    for(int i=0;i

【例题】

1. 矩形并的面积（51Nod-2488）(容斥原理)：点击这里
2. February 29（LightOJ-1414）(容斥原理+模拟)：点击这里
3. Co-prime（HDU-4135）(容斥原理+因子分解)：点击这里
4. 跳蚤（POJ-1091）(容斥原理+深搜)：点击这里
5. Helping Cicada（LightOJ-1117）(容斥原理+二进制枚举)：点击这里
6. How many integers can you find（HDU-1796）(容斥原理+二进制枚举)：点击这里