SLAM学习之路（三）--旋转向量与欧拉角

一、旋转向量
发明目的：希望有一种方式可以紧凑地描述旋转和平移，如用一个三维向量表达旋转，用六维向量表达变换。
任意坐标系的旋转，都可以用一个旋转轴和一个旋转角刻画。可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角，这种向量称为旋转向量（或称轴角）
ps：旋转向量就是下章要介绍的李代数
旋转向量到旋转矩阵，可以由罗德里格斯公式推导
二、欧拉角

欧拉角，并不是一个角，而是使用三个分离的转角来描述物体运动，并不唯一。
因为旋转运动对人类来说，是并不直观的，人们很难想象出来旋转是什么样的，所以欧拉角提供了一种非常直观的方式来描述旋转—使用三个分离的转角，把一次旋转分解成三次绕不同轴的旋转。当然旋转分解到三个轴的分解方式有多种，欧拉角的定义也有多种，可以先绕x旋转，再绕y轴，最后绕z轴，即xyz旋转方式，同样，也可以有zyx，zxy等方式。
欧拉角中比较常用的一种方法，就是用偏航-俯仰-滚转（yaw-pitch-roll）三个角度来描述一个旋转，即zyx的方式。
假设：刚体前方为x轴，右侧为y轴，上方为z轴
那么zyx转角相当于把任意旋转分解为三个轴上的转角：
1.绕物体的z轴旋转，得到偏航角-yaw；
2.绕旋转之后的y轴旋转，得到俯仰角-pitch；
3.绕旋转之后的x轴旋转，得到滚转角roll
因此
不同的欧拉角是按照旋转轴的顺序来称呼的，如rpy 角的旋转顺序是 ZY X，rpy是常用的一种。
三、四元数
数学内容好多，不想看了，，，
四、相似、仿射、射影变换
与欧式变换一样，都是用来描述物体运动的，不同的是，欧式变换是最简单的，它保留了向量的长度和夹角，相当于把一个刚体原封不动地进行了移动或旋转，不改变自身的样子，但相似、仿射、射影变换三种会改变物体外形
1.相似变换
比欧式变换多了一个自由度，允许物体进行均匀缩放，矩阵表示为：

s–缩放因子，代表在对向量旋转后，可以在xyz三个坐标上均匀缩放。面积发生改变
2.仿射变换
也叫正交投影，要求A是一个可逆矩阵，而不是正交矩阵。

仿射变换后，立方体就不再是方的，但是各个面仍是平行四方形
3.射影变换
最一般的变换
A-可逆矩阵，右上为平移t，左下为缩放。