四阶龙格库塔法

四阶龙格库塔法

这里主要讲一下如何用C语言编程运用四阶龙格库塔法求解微分方程组。对于所举例子，只是为了说明龙格库塔法不仅可以解一阶线性微分方程，高阶非线性也可通过降阶后按照经典四阶龙格库塔法公式逐步求解。只要选取合适的步长h，就能够平衡速度和精度，达到求解要求。至于例子中的一级倒立摆的物理含义没有提及到，各种方程具体是如何来的也没有涉及到推导。关于控制理论方面的知识这里不作重点。

对微分方程：dy/dt = f(x, y)

有初值条件：y（x(i)）= φ（x(i)）

 

y(i+1) = y(i)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6

K1=f(x(i),y(i))

K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2)

K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2)

K4=f(x(i)+h,y(i)+h*K3)

其中，K1， K2， K3， K4表示的是输出变量的一阶倒数，即在一点处的微分，斜率。

示例

以下以一个直线一级倒立摆为例。

根据牛顿经典力学可以建立以下二阶非线性微分方程组模型：

其状态方程为：

 

 

其输出方程为：

由微分方程可知，是一个高阶微分方程，先对其进行降阶：

令，即可得到上述状态方程，其中的参数为系统结构参数，解方程时直接带入式子求解。

编程

不管是C语言编程还是Matlab编程，都只需根据公式和所要求解的具体微分方程来求解各斜率，循环4次，最终求解输出变量。

 

for(i = 0;i < 4;i++)
	{
		//直接写出所要求解的微分方程
		dX[0] = x2;
		dX[1] = u;
		dX[2] = x4;
		dX[3] = (3*u*cos(x3))+(29.4*sin(x3))-(0.165*(x4));
		
		//将倒数即斜率赋值给k
		k[0][i] = DX[0];
		k[1][i] = DX[1];
		k[2][i] = DX[2];
		k[3][i] = DX[3];
		
		//计算出x的值，供求下一组斜率k时使用
		if(i==0||i==1)
		{
			x1 = X[0]+h*k[0][i]/2;
			x2 = X[1]+h*k[1][i]/2;
			x3 = X[2]+h*k[2][i]/2;
			x4 = X[3]+h*k[3][i]/2;
		}
		
		if(i==2)
		{
			x1=X[0]+h*k[0][i];
			x2=X[1]+h*k[1][i];
			x3=X[2]+h*k[2][i];
			x4=X[3]+h*k[3][i];
		
		}

	}

 最终计算x值程序语句：

		X[0] = X[0]+h*(k[0][0]+2*k[0][1]+2*k[0][3]+k[0][3])/6;
		X[1] = X[1]+h*(k[1][0]+2*k[1][1]+2*k[1][3]+k[1][3])/6;
		X[2] = X[2]+h*(k[2][0]+2*k[2][1]+2*k[2][3]+k[2][3])/6;
		X[3] = X[3]+h*(k[3][0]+2*k[3][1]+2*k[3][3]+k[3][3])/6;

注意选取合适的步长以及计算区间。