李群和李代数的关系

群

1、群的概念和性质

三维旋转矩阵构成了特殊正交群SO(3)，而变换矩阵构成了特殊欧氏群SE(3)。那什么是群呢？群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作A，运算记作（·），那么群可以记作G = (A， ·)。群要求这个运算满足以下几个条件：

李群

1、李群的概念和性质

李群是指具有连续（光滑）性质的群。像整数群Z 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。而SO(n) 和SE(n)，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。下面是特殊正交群SO(3)，特殊欧氏群SE(3)。

李代数

1、李代数的概念和性质

每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群的局部性质。通用的李代数的定义如下：李代数由一个集合V，一个数域F 和一个二元运算[，] 组成。如果它们满足以下几条性质，称(V， F， [， ]) 为一个李代数，记作g。其中二元运算被称为李括号。从表面上来看，李代数所需要的性质还是挺多的。相比于群中的较为简单的二元运算，李括号表达了两个元素的差异。它不要求结合律，而要求元素和自己做李括号之后为零的性质。

2、李代数so（3）

特殊正交群SO(3) 对应的李代数so(3)是定义在三维空间上的向量，我们记作ϕ。根据前面的推导，每个ϕ 都可以生成一个反对称矩阵：

由于ϕ 与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说so(3) 的元素是3 维向量或者3 维反对称矩阵，不加区别。它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应到一个反对称矩阵，可以表达旋转矩阵的导数。

so(3)与SO(3) 的关系由指数映射给定：

exp(ϕ^) 是如何计算的？它是一个矩阵的指数，在李群和李代数中，称为指数映射，任意矩阵的指数映射可以写成一个泰勒展开，但是只有在收敛的情况下才会有结果，其结果仍是一个矩阵。我们通过计算，可以把指数映射写成：

这表明，so(3) 实际上就是由所谓的旋转向量组成的空间，而指数映射即罗德里格斯公式。通过它们，我们把so(3) 中任意一个向量对应到了一个位于SO(3) 中的旋转矩阵。反之，如果定义对数映射，我们也能把SO(3) 中的元素对应到so(3) 中：

是否对于任意的R 都能找到一个唯一的ϕ？很遗憾，指数映射只是一个满射。这意味着每个SO(3) 中的元素，都可以找到一个so(3) 元素与之对应；但是可能存在多个so(3) 中的元素，对应到同一个SO(3)。至少对于旋转角theta，我们知道多转360 度和没有转是一样的——它具有周期性。但是，如果我们把旋转角度固定在 之间，那么李群和李代数元素是一一对应的。

3、李代数se（3）

对于SE(3)，它也有对应的李代数se(3)。与so(3) 相似，se(3) 位于6维 空间中：

我们把每个se(3) 元素记作，它是一个六维向量。前三维为平移，记作p；后三维为旋转，记作ϕ，实质上是so(3) 元素。同时，我们拓展了^ 符号的含义。在se(3) 中，同样使用^ 符号，将一个六维向量转换成四维矩阵，但这里不再表示反对称：

那么se(3) 上的指数映射。是什么样子呢？

SO(3)SE(3)左扰动模型so(3)求导（详解）

李群与李代数之间的关系（SO(3); SE(3); so(3); se(3) 的对应关系）