【栈 && 单调栈】浅谈单调栈与单调栈的理解

单调栈

定义：
单调栈，顾名思义，是栈内元素保持一定单调性（单调递增或单调递减）的栈。这里的单调递增或递减是指的从栈顶到栈底单调递增或递减。既然是栈，就满足后进先出的特点。与之相对应的是单调队列。

实现：
先上结论：
利用单调栈，可以找到从左/右遍历第一个比它小/大的元素的位置
一：
举个例子：
假设有一个单调递增的栈 S和一组数列：
a : 5 3 7 4

用数组L[i] 表示 第i个数向左遍历的第一个比它小的元素的位置

如何求L[i]？

首先我们考虑一个朴素的算法，可以按顺序枚举每一个数，然后再依此向左遍历。
但是当数列单调递减时，复杂度是严格的O(n^2)。

此时我们便可以利用单调栈在O(n)的复杂度下实现

我们按顺序遍历数组，然后构造一个单调递增栈

(1). i = 1时，因栈为空，L[1] = 0，此时再将第一个元素的位置下标1存入栈中

此时栈中情况：

(2).i = 2时，因当前3小于栈顶元素对应的元素5，故将5弹出栈
此时栈为空
故L[2] = 0
然后将元素3对应的位置下标2存入栈中

此时栈中情况：

(3).i = 3时，因当前7大于栈顶元素对应的元素3，故
L[3] = S.top() = 2 (栈顶元素的值)

然后将元素7对应的下标3存入栈
此时栈中情况：

(4).i = 4时，为保持单调递增的性质，应将栈顶元素3弹出
此时 L[4] = S.top() = 2;

然后将元素4对应的下标3存入栈
此时栈中情况：

至此 算法结束
对应的结果：
a : 5 3 7 4
L : 0 0 2 2

二：

例如实现一个单调递增的栈，比如现在有一组数10，3，7，4，12。从左到右依次入栈，则如果栈为空或入栈元素值小于栈顶元素值，则入栈；否则，如果入栈则会破坏栈的单调性，则需要把比入栈元素小的元素全部出栈。单调递减的栈反之。

10入栈时，栈为空，直接入栈，栈内元素为10。

3入栈时，栈顶元素10比3大，则入栈，栈内元素为10，3。

7入栈时，栈顶元素3比7小，则栈顶元素出栈，此时栈顶元素为10，比7大，则7入栈，栈内元素为10，7。

4入栈时，栈顶元素7比4大，则入栈，栈内元素为10，7，4。

12入栈时，栈顶元素4比12小，4出栈，此时栈顶元素为7，仍比12小，栈顶元素7继续出栈，此时栈顶元素为10，仍比12小，10出栈，此时栈为空，12入栈，栈内元素为12。

至于代码的实现我觉得还是必须对应着题目去体会，也没有太死板的模板，下面只给出伪代码吧。

/*
* 本伪代码对应的是单调递减栈 
*共n个元素，编号为0~n-1
*/
while(栈为空) 栈顶元素出栈; //先清空栈
a[n]=-1;
for(i=0;i<=n;i++)
{
	if(栈为空或入栈元素大于等于栈顶元素) 入栈;
	else 
	{
		while(栈非空并且栈顶元素大于等于入栈元素)
		{
			栈顶元素出栈;
			更新结果; 
		} 
		将最后一次出栈的栈顶元素（即当前元素可以拓展到的位置）入栈; 
		更新最后一次出栈的栈顶元素其对应的值; 
	} 	 
}
输出结果; 

将破坏栈单调性的元素都出栈后，最后一次出栈的元素就是当前入栈元素能拓展到的最左位置，更新其对应的值，并将其位置入栈。（注： 对于这句话到现在都没有理解， 如果有大佬路过可以帮我解释解释。）

应用：
以上就是一个单调栈的定义及其实现，下面就来说一下它可以解决哪些问题。其实我也不能给出证明，以证明它为什么能完成这些功能，只是简单的把它的用途说一下，碰到问题时就需要大家灵活运用了。

1.最基础的应用就是给定一组数，针对每个数，寻找它和它右边第一个比它大的数之间有多少个数。
2.给定一序列，寻找某一子序列，使得子序列中的最小值乘以子序列的长度最大。
3.给定一序列，寻找某一子序列，使得子序列中的最小值乘以子序列所有元素和最大。

对应题目：做的还不多，以后慢慢增加。
1、完美矩阵；
这题选拔赛做的时候没有写出来，主要因为太菜， 想到用单调栈，但没有考虑的很全面，先说说我看到的第一感觉，用贪心，在每一层以高度递增遍历每一层，问题出在当时找到连续的就break了，没有继续往后找，不过以数据大小来说这样写一定会TLE的，之后想到单调栈，但以高度入栈了，写的一团乱。直到学长讲解的时候思路才打开，应该以下标入栈。分别在左右找他的第一个小于他的数。就A了。这个实现不难就不贴下来了。后面再网上看到了两个写法，思路大致相同不过各有优劣。

-找出每一个单位宽度矩形的左边界 l 和右边界 r ，左边界定义为左边连续的高度大于等于它的最左边的矩形的下标，右边界同理，从左往右推出所有的左边界，从右往左推出所有的右边界。
注意：矩形的高度h可以等于零，以为这当左边边上的矩形高为零或者右边边界上矩形高度为零时，while循环无法停止，所以在while循环的条件中要加上限制边界的条件。

#include
#include
#include
#define max(a, b) ((a > b) ? (a) : (b))
long long h[100010],l[100010],r[100010];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i, t;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%lld",&h[i]);
    }
    memset(l, 0, sizeof(l));
    memset(r, 0, sizeof(r));
    l[1]=1;
    r[n]=n;
    for(i=2; i<=n; i++)
    {
        t=i;
        while(t>1&&h[i]<=h[t-1])
            t=l[t-1];
        l[i]=t;
    }
    for(i=n-1; i>0; i--)
    {
        t=i;
        while(t<n&&h[i]<=h[t+1])
            t=r[t+1];
        r[i]=t;
    }
    long long s=0;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        s = max(s, (r[i]-l[i]+1)*h[i]);
    }
    printf("%lld\n",s);
    return 0;
}

• 利用根据单调递增栈解决，如果栈为空或入栈元素小于栈顶元素则入栈，否则会破坏栈的单调性，则将栈顶元素出栈并更新结果，直到栈为空或碰到一个小于入栈元素的值。然后将当前元素入栈。这个方法还没有彻底掌握，先贴代码。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
 
int main()
{
	int i,n,top; //top指向栈顶 
	stack<int> st; //栈用于保存矩形的编号，即位置 
	LL tmp,ans,a[100010]; //tmp为临时变量，记录面积的值，ans为结果，记录最大面积值 
	while(~scanf("%d",&n)&&n)
	{
		for(i=0;i<n;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		ans=0;
		a[n]=-1; //最后一个元素设为最小值，以最后清空栈 
		for(i=0;i<=n;i++)
		{
			if(st.empty()||a[i]>=a[st.top()])
			{ //如果栈为空或入栈元素大于等于栈顶元素 ，则入栈 
				st.push(i);
			}
			else
			{
				while(!st.empty()&&a[i]<a[st.top()])
				{ //如果栈非空且入栈元素小于栈顶元素，则将栈顶元素出栈 
					top=st.top();
					st.pop();
					tmp=(i-top)*a[top]; //在出栈过程中计算面积值 
					if(tmp>ans) ans=tmp; //更新面积最大值 
				}
				st.push(top); //只将可以延伸到的最左端的位置入栈
				a[top]=a[i];  //并修改该位置的值 
			}			
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}