DP、贪心-LeetCode121. 买卖股票的最佳时机（k = 1）

1、题目描述（k = 1）

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。（不能在买入股票前卖出股票）

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

2、贪心法，通俗易懂，建议使用

# 直观解法
class Solution(object):
    def maxProfit(self, prices):
        n = len(prices)
        if n == 0:
            return 0
        res = 0
        minV = prices[0]  # 记录最低价
        for i in range(1, n):
            res = max(res, prices[i] - minV)  # 差值
            minV = min(minV, prices[i])  # 记录之前的最低价
        return res

3、通用模板（III开始使用）

3.1、状态

每天都有三种「选择」：买入、卖出、无操作。用 buy, sell, rest 表示这三种选择。

sell 必须在 buy 之后，buy 必须在 sell 之后。那么 rest 操作还应该分两种状态，一种是 buy 之后的 rest（持有了股票），一种是 sell 之后的 rest（没有持有股票）。而且别忘了，我们还有交易次数 k 的限制，就是说你 buy 还只能在 k > 0 的前提下操作。

问题的「状态」有三个，第一个是天数，第二个是允许交易的最大次数，第三个是当前的持有状态（即之前说的 rest 的状态，我们不妨用 1 表示持有，0 表示没有持有）。然后我们用一个三维数组就可以装下这几种状态的全部组合

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

dp[3][2][1] 的含义：今天是第三天，我现在手上持有着股票，至今最多进行 2 次交易。

dp[2][3][0] 的含义：今天是第二天，我现在手上没有持有股票，至今最多进行 3 次交易。

 

想求的最终答案是 dp[n - 1][K][0]，即最后一天，最多允许 K 次交易，最多获得多少利润。

为什么不是 dp[n - 1][K][1]？

因为 [1] 代表手上还持有股票，[0] 表示手上的股票已经卖出去了，很显然后者得到的利润一定大于前者。

3.2、状态转移 

①根据状态转移图，写出状态转移方程

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
              max(   选择 rest  ,           选择 sell      )

解释：今天我没有持有股票，有两种可能：
要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
              max(   选择 rest  ,           选择 buy         )

解释：今天我持有着股票，有两种可能：
要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。

如果 buy，就要从利润中减去 prices[i]，如果 sell，就要给利润增加 prices[i]。

今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。

而且注意 k 的限制，我们在选择 buy 的时候，把 k 减小了 1，很好理解吧，当然你也可以在 sell 的时候减 1，一样的。

②定义 base case

dp[-1][k][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，用负无穷表示这种不可能。

③综上状态转移方程

base case：
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

 

4、通用代码详解

class Solution(object):
    def maxProfit(self, prices):

        n = len(prices)
        # base case: dp[-1][0] = 0, dp[-1][1] = -infinity
        # dp[i][0] = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i]) = max(0, -infinity + prices[i]) = 0
        # dp[i][1] = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i]) = max(-infinity, 0 - prices[i]) = -prices[i]
        dp_i_0 = 0  # max_profit
        dp_i_1 = float("-inf")  # min_price
        for i in range(n):
            # dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
            dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i])
            # dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
            dp_i_1 = max(dp_i_1, -prices[i])

        return dp_i_0

prices = [7,1,5,3,6,4]
s = Solution()
print(s.maxProfit(prices))

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/solution/yi-ge-fang-fa-tuan-mie-6-dao-gu-piao-wen-ti-by-l-3/