区间dp入门——总结+习题+解析

前天学长拉了个区间dp的专题，花了两个做，今天就来做个总结吧！！！

区间dp其实就是一种建立在线性结构上的对区间的动态规划，dp本来就是很奇妙的东西，也没有什么套路，就是一种思考的数学思维方式，只有做足够多的题并且想的足够多才可能在比赛中做出来。

区间dp，顾名思义，在区间上dp，大多数题目的状态都是由区间（类似于dp[l][r]这种形式）构成的，就是我们可以把大区间转化成小区间来处理，然后对小区间处理后再回溯的求出大区间的值，主要的方法有两种，记忆化搜索和递推。

在用递推来求解时，关键在于递推是for循环里面的顺序，以及dp的关键：状态转移方程。

当然大部分的区间dp都是有特点的，我们可以考虑符合什么条件下，大区间可以转化成小区间，然后找出边界条件，进行dp求解。

区间dp也有很经典的板子部分，下面抛出代码和解析：

memset(dp,0,sizeof(dp))//初始dp数组
for(int len=2;len<=n;len++){//枚举区间长度
    for(int i=1;in) break;//符合条件的终点
        for(int k=i;k<=j;++k)//枚举最优分割点
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]);//状态转移方程
    }
}
         
        
    

当然dp数组的维度和边界条件以及转移方程都是可变的，但是很多简单题都是这样可以做出来的，难题也都是情况更复杂了些，其最基本的思想还是不变的。

区间dp大部分的题目还有一种优化，因为我们很容易知道正常的区间dp时间复杂度为O(n^3)的，对于有的n是1000的，会超时

这时候就要用到一个经典的优化可以把它优化到:O(n^2)，其实证明很难理解，但是大部分题都不会卡，因为dp已经很难了。

就算需要四边形优化，也就是多开一个数组s的事，在枚举最优分割点时，再缩小一下枚举范围，经典的用空间换时间的做法。

下面抛出基于四边形优化的代码。

for(int len=2;len<=n;len++){
    for(int i = 1;i<=n;i++){
	int j = i+len-1;
	if(j>n) break;
	for(int k = s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
	    if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]){
		dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j];
		s[i][j]=k;
	    }
	}
    }
}

具体的证明过程可以参考这篇博文：戳我戳我

区间dp的知识点其实不多，最重要的还是在状态转移方程这一块，当然这里也有一些经典而且有意思的题目给大家。

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先给出一些经典区间dp题型：石子合并，环型石子匹配，括号匹配问题，括号匹配变形，整数划分，最优三角形剖分，最优矩阵链乘。（最后两个题型在最后给出链接，kuangbin带你飞专题里面有）

然后就可以做一下比较有意思的题目，比如kuangbin带你飞区间dp专题，当然还有其他经典题型，以后再补。

kuangbin带你飞区间dp专题

zoj3537——最优三角剖分+凸包	题解
poj2955——括号匹配+区间dp经典题	题解
codeforce-149D——括号匹配染色+区间dp	题解
poj1651——最优矩阵链乘	题解
zoj3469——区间dp好题	题解
hdu4283——经典区间dp	题解
Lightoj1422——区间dp经典题	题解
hdu2476——经典区间dp	题解