本文所有内容来自上海科学技术文献出版社《离散数学》第二篇。
一般来说,把具有共同性质的一些东西,汇集成一个整体,就形成一个集合。
通常用大写英文字母表示集合的名称;用小写英文字母表示组成集合的事物,即元素。
若元素 a a a 属于集合 A A A ,记作 a ∈ A a\in A a∈A ,否则记作 a ∉ A a\notin A a∈/A 。
一个集合,若其元素个数是有限的,则称作有限集,否则称为无限集。
说明集合的方法有两种:
一种是将某集合的元素列举出来,称作列举法。
另一种是利用一项规则,以便决定某一物体是否属于该集合,称作叙述法。
外延性定理
两个集合是相等的,当且仅当它们有相同的成员。
定义 3 - 1.1
设 A , B A,B A,B 是任意两个集合,假如 A A A 的每一个元素是 B B B 的成员,则称 A A A 是 B B B 的子集,或 A A A 包含在 B B B 内,或 B B B 包含 A A A 。记作 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B ,或 B ⊇ A B \supseteq A B⊇A ,即有 A ⊆ B ⇔ ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x (x\in A \rightarrow x \in B) A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)根据子集的定义,显然其具有自反性和传递性。
定理 3 - 1.1
集合 A A A 和集合 B B B 相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。
定义 3 - 1.2
如果集合 A A A 的每一个元素都属于 B B B ,但集合 B B B 中至少有一个元素不属于 A A A ,则称 A A A 为 B B B 的真子集,记作 A ⊂ B A \subset B A⊂B 。
定义 3 - 1.3
不包含任何元素的集合是空集,记作 ∅ \varnothing ∅ 。
定理 3 - 1.2
对于任意一个集合 A A A , ∅ ⊆ A \varnothing \subseteq A ∅⊆A 。
定义 3 - 1.4
在一定范围内,如果所有集合均为某一集合的子集,则称该集合为全集,记作 E E E 。全集的概念相当于论域。
定义 3 - 1.5
给定集合 A A A ,由集合 A A A 的所有子集为元素组成的集合,称为集合 A A A 的幂集,记作 P ( A ) \mathscr{P}(A) P(A) 。
定理 3 - 1.3
如果有限集合 A A A 有 n n n 个元素,则其幂集 P ( A ) \mathscr{P}(A) P(A) 有 2 n 2^n 2n 个元素。
可以引进一种编码来唯一地表示有限集幂集的元素,一般地 P ( S ) = { S i ∣ i ∈ J } J = { i ( 2 ) ∣ 000 ⋯ 0 ⏞ n ⩽ i ⩽ 111 ⋯ 1 ⏞ n } \mathscr{P}(S)=\{S_i\vert i \in J\} \\ J=\{i_{(2)}\vert \overbrace{000\cdots0}^{n} \leqslant i \leqslant \overbrace{111\cdots1}^{n}\} P(S)={Si∣i∈J}J={i(2)∣000⋯0 n⩽i⩽111⋯1 n}
(1)集合的交
定义 3 - 2.1
设任意两个集合 A A A 和 B B B ,由集合 A A A 和 B B B 所有共同元素组成的集合 S S S ,称为 A A A 和 B B B 的交集,记作 A ∩ B A \cap B A∩B 。
(2)集合的并
定义 3 - 2.2
设任意两个集合 A A A 和 B B B ,所有属于 A A A 或属于 B B B 的元素组成的集合 S S S ,称为 A A A 和 B B B 的并集,记作 A ∪ B A \cup B A∪B 。
定理 3 - 2.1
设 A , B , C A,B,C A,B,C 为任意三个集合,则下列分配律成立。
a) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A \cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 。
b) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A \cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 。
定理 3 - 2.2
设 A , B A,B A,B 为任意两个集合,则下列吸收律成立。
a) A ∪ ( A ∩ B ) = A A\cup(A\cap B)=A A∪(A∩B)=A 。
b) A ∩ ( A ∪ B ) = A A\cap(A\cup B)=A A∩(A∪B)=A 。
定理 3 - 2.3
A ⊆ B A \subseteq B A⊆B ,当且仅当 A ∪ B = B A \cup B = B A∪B=B 或 A ∩ B = A A \cap B=A A∩B=A 。
(3)集合的补
定义 3 - 2.3
设任意两个集合 A A A 和 B B B ,所有属于 A A A 而不属于 B B B 的元素组成的集合 S S S ,称为 B B B 对于 A A A 的补集,或相对补,记作 A − B A-B A−B ,也称集合 A A A 和 B B B 的差。
定义 3 - 2.4
设 E E E 为全集,对任一集合 A A A 关于 E E E 的补 E − A E-A E−A ,称为集合 A A A 的绝对补,记作 ∼ A \sim A ∼A 或 A ‾ \overline{A} A 。
定理 3 - 2.4
设 A , B A,B A,B 为任意两个集合,则下列关系式成立。
a) ∼ ( A ∪ B ) = ∼ A ∩ ∼ B \sim(A \cup B)=\sim A \cap \sim B ∼(A∪B)=∼A∩∼B 。
b) ∼ ( A ∩ B ) = ∼ A ∪ ∼ B \sim(A \cap B)=\sim A \cup \sim B ∼(A∩B)=∼A∪∼B 。
定理 3 - 2.5
设 A , B A,B A,B 为任意两个集合,则下列关系式成立。
a) A − B = A ∩ ∼ B A-B=A\cap\sim B A−B=A∩∼B 。
b) A − B = A − ( A ∩ B ) A-B=A-(A\cap B) A−B=A−(A∩B) 。
定理 3 - 2.6
设 A , B , C A,B,C A,B,C 为三个集合,则 A ∩ ( B − C ) = ( A ∩ B ) − ( A ∩ C ) A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C) A∩(B−C)=(A∩B)−(A∩C)
定理 3 - 2.7
设 A , B A,B A,B 为任意两个集合,若 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B,则
a) ∼ B ⊆ A \sim B \subseteq A ∼B⊆A 。
b) ( B − A ) ∪ A = B (B-A)\cup A=B (B−A)∪A=B 。
(4)集合的对称差
定义 3 - 2.5
设 A , B A,B A,B 为任意两个集合, A A A 和 B B B 的对称差为集合 S S S ,其元素或属于 A A A ,或属于 B B B ,但不能既属于 A A A 又属于 B B B ,记作 A ⊕ B A\oplus B A⊕B 。
对称差满足以下性质:
a) A ⊕ B = B ⊕ A A\oplus B = B\oplus A A⊕B=B⊕A 。
b) A ⊕ ∅ = A A\oplus \varnothing = A A⊕∅=A 。
c) A ⊕ A = ∅ A\oplus A = \varnothing A⊕A=∅ 。
d) A ⊕ B = ( A ∩ ∼ B ) ∪ ( ∼ A ∩ B ) A\oplus B = (A \cap \thicksim B)\cup(\thicksim A \cap B) A⊕B=(A∩∼B)∪(∼A∩B) 。
e) ( A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) (A\oplus B)\oplus C = A \oplus (B \oplus C) (A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C) 。
设 A 1 , A 2 A_1,A_2 A1,A2 为有限集合,其元素个数分别记为 ∣ A 1 ∣ \vert A_1 \vert ∣A1∣ , ∣ A 2 ∣ \vert A_2 \vert ∣A2∣ ,根据集合运算的定义,显然以下各式成立。
∣ A 1 ∪ A 2 ∣ ⩽ ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ ∣ A 1 ∩ A 2 ∣ ⩽ min ( ∣ A 1 ∣ , ∣ A 2 ∣ ) ∣ A 1 − A 2 ∣ ⩾ ∣ A 1 ∣ − ∣ A 2 ∣ ∣ A 1 ⊕ A 2 ∣ = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ − 2 ∣ A 1 ∩ A 2 ∣ \vert A_1 \cup A_2 \vert \leqslant \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert \\ \vert A_1 \cap A_2 \vert \leqslant \min(\vert A_1 \vert,\vert A_2 \vert) \\ \vert A_1 - A_2 \vert \geqslant \vert A_1 \vert - \vert A_2 \vert \\ \vert A_1 \oplus A_2 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert - 2\vert A_1 \cap A_2 \vert ∣A1∪A2∣⩽∣A1∣+∣A2∣∣A1∩A2∣⩽min(∣A1∣,∣A2∣)∣A1−A2∣⩾∣A1∣−∣A2∣∣A1⊕A2∣=∣A1∣+∣A2∣−2∣A1∩A2∣
定理 3 - 3.1
设 A 1 , A 2 A_1,A_2 A1,A2 为有限集合,其元素个数分别为 ∣ A 1 ∣ , ∣ A 2 ∣ \vert A_1 \vert,\vert A_2 \vert ∣A1∣,∣A2∣ ,则 ∣ A 1 ∪ A 2 ∣ = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ − ∣ A 1 ∩ A 2 ∣ \vert A_1 \cup A_2 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert - \vert A_1 \cap A_2 \vert ∣A1∪A2∣=∣A1∣+∣A2∣−∣A1∩A2∣ 。
定理 3 - 3.2
设 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1,A2,⋯,An 为有限集合,其元素个数分别为 ∣ A 1 ∣ , ∣ A 2 ∣ , ⋯   , ∣ A n ∣ \vert A_1 \vert , \vert A_2 \vert , \cdots , \vert A_n \vert ∣A1∣,∣A2∣,⋯,∣An∣ , 则 ∣ A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ∣ = ∑ i = 1 n ∣ A i ∣ − ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n ∣ A i ∩ A j ∣ + ∑ 1 ⩽ i < j < k ⩽ n ∣ A i ∩ A j ∩ A k ∣ + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 ∣ A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n ∣ \begin{aligned}\vert A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \vert &= \sum_{i=1}^{n}\vert A_i \vert - \sum_{1\leqslant i < j \leqslant n}\vert A_i \cap A_j \vert \\ &+\sum_{1\leqslant i < j < k \leqslant n}\vert A_i \cap A_j \cap A_k \vert \\ & + \cdots + (-1)^{n-1}\vert A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \vert\end{aligned} ∣A1∪A2∪⋯∪An∣=i=1∑n∣Ai∣−1⩽i<j⩽n∑∣Ai∩Aj∣+1⩽i<j<k⩽n∑∣Ai∩Aj∩Ak∣+⋯+(−1)n−1∣A1∩A2∩⋯∩An∣
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。
定义 3 - 4.1
两个序偶相等, ⟨ x , y ⟩ = ⟨ u , v ⟩ \langle x,y \rangle = \langle u,v \rangle ⟨x,y⟩=⟨u,v⟩ , iff x = u , y = v \text{iff }x=u,y=v iff x=u,y=v 。
序偶的概念可以推广到三元组的情况。三元组也是一个序偶,其第一元素本身也是序偶,可形式化表示为 ⟨ ⟨ x , y ⟩ , z ⟩ \langle \langle x,y \rangle ,z \rangle ⟨⟨x,y⟩,z⟩ 。今后约定,三元组可记作 ⟨ x , y , z ⟩ \langle x,y,z \rangle ⟨x,y,z⟩ 。
由此可定义 n n n 元组,简写为 ⟨ x 1 , x 2 , ⋯   , x n ⟩ \langle x_1,x_2,\cdots,x_n \rangle ⟨x1,x2,⋯,xn⟩ ,第 i i i 个元素 x i x_i xi 称作 n n n 元素组的第 i i i 个坐标。
定义 3 - 4.2
令 A A A 和 B B B 是任意两个集合,若序偶的第一个成员是 A A A 的元素,第二个成员是 B B B 的元素,所有这样的序偶集合,称为集合 A A A 和 B B B 的笛卡尔乘积或直积,记作 A × B A\times B A×B 。 A × B = { ⟨ x , y ⟩ ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ) } A \times B = \{\langle x,y \rangle \vert (x \in A)\wedge(y \in B)\} A×B={⟨x,y⟩∣(x∈A)∧(y∈B)}
定理 3 - 4.1
设 A , B , C A,B,C A,B,C 为任意三个集合,则以下分配律成立:
a) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C) A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
b) A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
c) ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ) (A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C) (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)
d) ( A ∩ B ) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C ) (A\cap B)\times C=(A\times C)\cap(B\times C) (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
定理 3 - 4.2
若 C ≠ ∅ C \neq \varnothing C̸=∅ ,则 A ⊆ B ⇔ ( A × C ⊆ B × C ) ⇔ ( C × A ⊆ C × B ) A \subseteq B \Leftrightarrow (A\times C \subseteq B \times C)\Leftrightarrow(C\times A\subseteq C\times B) A⊆B⇔(A×C⊆B×C)⇔(C×A⊆C×B)
定理 3 - 4.3
设 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D 为四个非空集合,则 A × B ⊆ C × D A\times B\subseteq C\times D A×B⊆C×D 的充要条件为 A ⊆ C , B ⊆ D A\subseteq C,B\subseteq D A⊆C,B⊆D 。
特别地, A × A A \times A A×A 可以写成 A 2 A^2 A2 ,同样地, A × A × ⋯ × A ⏞ n = A n \overbrace{A \times A \times \cdots \times A}^{n}=A^n A×A×⋯×A n=An 。
定义 3 - 5.1
任意序偶的集合确定了一个二元关系 R R R , R R R 中任一序偶 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y \rangle ⟨x,y⟩ 可记作 ⟨ x , y ⟩ ∈ R \langle x,y \rangle \in R ⟨x,y⟩∈R 或 x R y xRy xRy 。不在 R R R 中的任一序偶 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y \rangle ⟨x,y⟩ 可记作 ⟨ x , y ⟩ ∉ R \langle x,y \rangle \notin R ⟨x,y⟩∈/R 或 x \ R y x \rlap{\verb|\|}R y x\Ry 。
定义 3 - 5.2
令 R R R 为二元关系,由 ⟨ x , y ⟩ ∈ R \langle x,y \rangle \in R ⟨x,y⟩∈R 的所有 x x x 组成的集合 dom R \text{dom }R dom R 称为 R R R 的前域,即 dom R = { x ∣ ( ∃ y ) ( ⟨ x , y ⟩ ∈ R ) } \text{dom }R=\{x\vert(\exist y)(\langle x,y \rangle \in R)\} dom R={x∣(∃y)(⟨x,y⟩∈R)} 使 ⟨ x , y ⟩ ∈ R \langle x,y \rangle \in R ⟨x,y⟩∈R 的所有 y y y 组成的集合 ran R \text{ran }R ran R 称作 R R R 的值域,即 ran R = { y ∣ ( ∃ x ) ( ⟨ x , y ⟩ ∈ R ) } \text{ran }R=\{y\vert(\exist x)(\langle x,y \rangle \in R)\} ran R={y∣(∃x)(⟨x,y⟩∈R)} R R R 的前域和值域一起称作 R R R 的域,记作 FLD R \text{FLD }R FLD R ,即 FLD R = dom R ∪ ran R \text{FLD }R=\text{dom }R\cup\text{ran }R FLD R=dom R∪ran R
定义 3 - 5.3
令 X X X 和 Y Y Y 是任意两个集合,直积 X × Y X\times Y X×Y 的子集 R R R 称作 X X X 和 Y Y Y 的关系。
我们今后把 X × Y X \times Y X×Y 的两个平凡子集 X × Y X\times Y X×Y 和 ∅ \varnothing ∅ ,分别称为 X X X 到 Y Y Y 的全域关系和空关系。
当 X = Y X=Y X=Y 时,关系 R R R 是 X × X X \times X X×X 的子集,这时称 R R R 为在 X X X 上的二元关系。
定义 3 - 5.4
设 I X I_X IX 是 X X X 上的二元关系且满足 I X = { ⟨ x , x ⟩ ∣ x ∈ X } I_X=\{\langle x,x \rangle \vert x \in X \} IX={⟨x,x⟩∣x∈X} ,则称 I X I_X IX 是 X X X 上的恒等关系。
定理 3 - 5.1
设 Z Z Z 和 S S S 是从集合 X X X 到集合 Y Y Y 的两个关系,则 Z , S Z,S Z,S 的并、交、补、差仍是 X X X 到 Y Y Y 的关系。
有限集的二元关系亦可用图形来表示,设集合 X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x m } X=\{x_1,x_2,\cdots,x_m\} X={x1,x2,⋯,xm} 到 Y = { y 1 , y 2 , ⋯   , y n } Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_n\} Y={y1,y2,⋯,yn} 上的一个二元关系为 R R R ,首先我们在平面上作出 m m m 个结点分别记作 x 1 , x 2 , ⋯   , x m x_1,x_2,\cdots,x_m x1,x2,⋯,xm ,然后另外作 n n n 个结点分别记作 y 1 , y 2 , ⋯   , y n y_1,y_2,\cdots,y_n y1,y2,⋯,yn 。如果 x i R y j x_iRy_j xiRyj ,则可自结点 x i x_i xi 至结点 y j y_j yj 处作一有向弧,其箭头指向 y j y_j yj ,否则, x i x_i xi 与 y j y_j yj 间没有线段联结。这种方法联结起来的图就称为 R R R 的关系图。
定义 3 - 6.1
设 R R R 为定义在集合 X X X 上的二元关系,如果对于每个 x ∈ X x\in X x∈X ,有 x R x xRx xRx ,则称二元关系 R R R 是自反的。
定义 3 - 6.2
设 R R R 为定义在集合 X X X 上的二元关系,如果对于每个 x , y ∈ X x,y\in X x,y∈X ,每当 x R y xRy xRy ,就有 y R x yRx yRx ,则称集合 X X X 上关系 R R R 是对称的。
定义 3 - 6.3
设 R R R 为定义在集合 X X X 上的二元关系,如果对于每个 x , y , z ∈ X x,y,z\in X x,y,z∈X ,每当 x R y , y R z xRy,yRz xRy,yRz ,就有 x R z xRz xRz ,则称集合 X X X 上关系 R R R 是传递的。
定义 3 - 6.4
设 R R R 为定义在集合 X X X 上的二元关系,如果对于每个 x ∈ X x\in X x∈X ,都有 ⟨ x , x ⟩ ∉ R \langle x,x \rangle \notin R ⟨x,x⟩∈/R ,则 R R R 称作反自反的。
应该注意,一个不是自反的关系,不一定就是反自反的。
定义 3 - 6.5
设 R R R 为定义在集合 X X X 上的二元关系,如果对于每个 x , y ∈ X x,y\in X x,y∈X ,每当 x R y xRy xRy 和 y R x yRx yRx 必有 x = y x=y x=y ,则称 R R R 在 X X X 上是反对称的。
注意,可能有某种关系,既是对称的,又是反对称的。
(这里还介绍了关系矩阵的相关性质)
定义 3 - 7.1
设 R R R 为 X X X 到 Y Y Y 的关系, S S S 为从 Y Y Y 到 Z Z Z 的关系,则 R ∘ S R \circ S R∘S 称为 R R R 和 S S S 的复合关系,表示为 R ∘ S = { ⟨ x , z ⟩ ∣ x ∈ X ∧ z ∈ Z ∧ ( ∃ y ) ( y ∈ Y ∧ ⟨ x , y ⟩ ∈ R ∧ ⟨ y , z ⟩ ∈ S ) } R \circ S = \{ \langle x,z \rangle \vert x \in X \wedge z \in Z \wedge (\exist y)(y \in Y \wedge \langle x,y \rangle \in R \wedge \langle y,z \rangle \in S) \} R∘S={⟨x,z⟩∣x∈X∧z∈Z∧(∃y)(y∈Y∧⟨x,y⟩∈R∧⟨y,z⟩∈S)} 通过 R R R 和 S S S 求 R ∘ S R \circ S R∘S 称为关系的合成运算。
关系 R R R 本身所组成的复合关系可以写成: R ∘ R , R ∘ R ∘ R , ⋯   , R ∘ R ∘ ⋯ ∘ R ⏞ m R \circ R,R \circ R \circ R,\cdots,\overbrace{R \circ R \circ \cdots \circ R}^m R∘R,R∘R∘R,⋯,R∘R∘⋯∘R m ,分别记作 R ( 2 ) , R ( 3 ) , ⋯   , R ( m ) R^{(2)},R^{(3)},\cdots,R^{(m)} R(2),R(3),⋯,R(m) ,一般地, R ( m − 1 ) ∘ R = R ( m ) R^{(m-1)}\circ R=R^{(m)} R(m−1)∘R=R(m) 。
设 M R ∘ S M_{R \circ S} MR∘S 为表示复合关系 R ∘ S R \circ S R∘S 的矩阵。则有 M R ∘ S = M R ∘ M S = [ w i k ] M_{R \circ S}=M_R \circ M_S=[w_{ik}] MR∘S=MR∘MS=[wik] 其中 w i k = ⋁ j = 1 n ( u i j ∧ v j k ) w_{ik}=\bigvee\limits_{j=1}^{n}(u_{ij}\wedge v_{jk}) wik=j=1⋁n(uij∧vjk) 式中 ∨ \vee ∨ 代表逻辑加, ∧ \wedge ∧ 代表逻辑乘。
定义 3 - 7.2
设 R R R 为 X X X 到 Y Y Y 的二元关系,如将 R R R 中每一序偶的元素顺序互换,所得到的集合称为 R R R 的逆关系。记作 R c R_c Rc ,即 R c = { ⟨ y , x ⟩ ∣ ⟨ x , y ⟩ ∈ R } R_c=\{\langle y,x \rangle\vert\langle x,y \rangle\in R\} Rc={⟨y,x⟩∣⟨x,y⟩∈R}显然逆关系具有自反性。
定理 3 - 7.1
设 R , R 1 R,R_1 R,R1 和 R 2 R_2 R2 都是从 A A A 到 B B B 的二元关系,则下列各式成立。
a) ( R 1 ∪ R 2 ) c = R 1 c ∪ R 2 c (R_1\cup R_2)^c=R_1^c\cup R_2^c (R1∪R2)c=R1c∪R2c 。
b) ( R 1 ∩ R 2 ) c = R 1 c ∩ R 2 c (R_1\cap R_2)^c=R_1^c\cap R_2^c (R1∩R2)c=R1c∩R2c 。
c) ( A × B ) c = B × A (A \times B)^c=B \times A (A×B)c=B×A 。
d) ( R ‾ ) c = R c ‾ (\overline{R})^c=\overline{R^c} (R)c=Rc ,这里 R ‾ = A × B − R \overline{R}=A \times B - R R=A×B−R 。
e) ( R 1 − R 2 ) c = R 1 c − R 2 c (R_1-R_2)^c=R_1^c-R_2^c (R1−R2)c=R1c−R2c 。
定理 3 - 7.2
设 T T T 为从 X X X 到 Y Y Y 的关系, S S S 为从 X X X 到 Y Y Y 的关系,则 ( T ∘ S ) c = S c ∘ T c (T \circ S)^c=S^c\circ T^c (T∘S)c=Sc∘Tc 。
定理 3 - 7.3
设 R R R 为 X X X 上的二元关系,则
a) R R R 是对称的,当且仅当 R = R c R=R^c R=Rc 。
b) R R R 是反对称的,当且仅当 R ∩ R c ⊆ I X R\cap R^c \subseteq I_X R∩Rc⊆IX 。
定义 3 - 8.1
设 R R R 是 X X X 上的二元关系,如果有另一个关系 R ′ R' R′ 满足:
a) R ′ R' R′ 是自反的(对称的,可传递的)。
b) R ′ ⊇ R R' \supseteq R R′⊇R 。
c) 对于任何自反的(对称的,可传递的)关系 R ′ ′ R'' R′′ ,如果有 R ′ ′ ⊇ R R'' \supseteq R R′′⊇R ,就有 R ′ ′ ⊇ R ′ R'' \supseteq R' R′′⊇R′ 。则称关系 R ′ R' R′ 为 R R R 的自反(对称、传递)闭包。记作 r ( R ) r(R) r(R) ( s ( R ) s(R) s(R) , t ( R ) t(R) t(R) )。
(笔者按:这里的三个字母分别是reverse、symmetric和transmit的首字母。)
定理 3 - 8.1
设 R R R 是 X X X 上的二元关系,那么
a) R R R 是自反的,当且仅当 r ( R ) = R r(R)=R r(R)=R 。
b) R R R 是对称的,当且仅当 s ( R ) = R s(R)=R s(R)=R 。
c) R R R 是传递的,当且仅当 t ( R ) = R t(R)=R t(R)=R 。
定理 3 - 8.2
设 R R R 是集合 X X X 上的二元关系,则 r ( R ) = R ∪ I X r(R)=R\cup I_X r(R)=R∪IX 。
定理 3 - 8.3
设 R R R 是 X X X 上的二元关系,则 s ( R ) = R ∪ R c s(R)=R\cup R^c s(R)=R∪Rc 。
定理 3 - 8.4
设 R R R 是 X X X 上的二元关系,则 t ( R ) = ⋃ i = 1 ∞ R i = R + t(R)=\bigcup\limits_{i=1}^{\infin}R^i=R^+ t(R)=i=1⋃∞Ri=R+ 。
定理 3 - 8.5
设 X X X 是含有 n n n 个元素的集合, R R R 是 X X X 上的二元关系,则存在一个正整数 k ⩽ n k\leqslant n k⩽n ,使得 t ( R ) = ⋃ i = 1 k R i t(R)=\bigcup\limits_{i=1}^{k}R^i t(R)=i=1⋃kRi 。
定理 3 - 8.6
设 X X X 是集合, R R R 是 X X X 上的二元关系,则
a) r s ( R ) = s r ( R ) rs(R)=sr(R) rs(R)=sr(R) 。
b) r t ( R ) = t r ( R ) rt(R)=tr(R) rt(R)=tr(R) 。
c) t s ( R ) ⊇ s t ( R ) ts(R)\supseteq st(R) ts(R)⊇st(R) 。
定义 3 - 9.1
令 A A A 为给定非空集合, S = { S 1 , S 2 , ⋯   , S m } S=\{S_1,S_2,\cdots,S_m\} S={S1,S2,⋯,Sm} ,其中 S i ⊆ A , S i ≠ ∅ ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) S_i\subseteq A,S_i\ne\varnothing(i=1,2,\cdots,m) Si⊆A,Si̸=∅(i=1,2,⋯,m) 且 ⋃ i = 1 m S i = A \bigcup\limits_{i=1}^mS_i=A i=1⋃mSi=A ,集合 S S S 称作集合 A A A 的覆盖。如果除以上条件外,还另有 S i ∩ S j = ∅ ( i ≠ j ) S_i\cap S_j=\varnothing(i\ne j) Si∩Sj=∅(i̸=j) ,则称 S S S 是 A A A 的划分。
定义 3 - 9.2
若 { A 1 , A 2 , ⋯   , A r } \{A_1,A_2,\cdots,A_r\} {A1,A2,⋯,Ar} 与 { B 1 , B 2 , ⋯   , B s } \{B_1,B_2,\cdots,B_s\} {B1,B2,⋯,Bs} 是同一集合 A A A 的两种划分,则其中所有 A i ∩ B j ≠ ∅ A_i \cap B_j \ne \varnothing Ai∩Bj̸=∅ 组成的集合,称为是原来两种划分的交叉划分。
定理 3 - 9.1
设 { A 1 , A 2 , ⋯   , A r } \{A_1,A_2,\cdots,A_r\} {A1,A2,⋯,Ar} 与 { B 1 , B 2 , ⋯   , B s } \{B_1,B_2,\cdots,B_s\} {B1,B2,⋯,Bs} 是同一集合 X X X 的两种划分,则其交叉划分亦是原集合的一种划分。
定义 3 - 9.3
给定 X X X 的任意两个划分 { A 1 , A 2 , ⋯   , A r } \{A_1,A_2,\cdots,A_r\} {A1,A2,⋯,Ar} 和 { B 1 , B 2 , ⋯   , B s } \{B_1,B_2,\cdots,B_s\} {B1,B2,⋯,Bs} ,若对于每一个 A j A_j Aj 均有 B k B_k Bk 使 A j ⊆ B k A_j \subseteq B_k Aj⊆Bk ,则 { A 1 , A 2 , ⋯   , A r } \{A_1,A_2,\cdots,A_r\} {A1,A2,⋯,Ar} 称为是 { B 1 , B 2 , ⋯   , B s } \{B_1,B_2,\cdots,B_s\} {B1,B2,⋯,Bs} 的加细。
定理 3 - 9.2
任意两种划分的交叉划分,都是原来各划分的一种加细。
定义 3 - 10.1
设 R R R 为定义在集合 A A A 上的一个关系,若 R R R 是自反的,对称的和传递的,则称 R R R 是等价关系。
定义 3 - 10.2
设 R R R 为定义在集合 A A A 上的等价关系,对任何 a ∈ A a \in A a∈A ,集合 [ a ] R = { x ∣ x ∈ A , a R x } [a]_R = \{ x \vert x \in A , aRx \} [a]R={x∣x∈A,aRx} 称为元素 a a a 形成的 R R R 等价类。
定理 3 - 10.1
设给定集合 A A A 上的等价关系 R R R ,对于 a , b ∈ A a,b \in A a,b∈A ,有 a R b aRb aRb 当且仅当 [ a ] R = [ b ] R [a]_R=[b]_R [a]R=[b]R 。
定义 3 - 10.3
集合 A A A 上的等价关系 R R R ,其等价类集合 { [ a ] R ∣ a ∈ A } \{ [a]_R \vert a \in A \} {[a]R∣a∈A} 称作 A A A 关于 R R R 的商集,记作 A / R A/R A/R 。
定理 3 - 10.2
集合 A A A 上的等价关系 R R R ,决定了 A A A 的一个划分,该划分就是商集 A / R A/R A/R 。
定理 3 - 10.3
集合 A A A 的一个划分确定 A A A 的元素间的一个等价关系。
定理 3 - 10.4
设 R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 为非空集合 A A A 上的等价关系,则 R 1 = R 2 R_1 = R_2 R1=R2 ,当且仅当 A / R 1 = A / R 2 A/R_1 = A/R_2 A/R1=A/R2 。
定义 3 - 11.1
给定集合 A A A 上的关系 r r r ,若 r r r 是自反的,对称的,则称 r r r 是相容关系。
定义 3 - 11.2
设 r r r 是集合 A A A 上的相容关系,若 C ⊆ A C \subseteq A C⊆A ,如果对于 C C C 中的任意两个元素 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2 有 a 1 r a 2 a_1ra_2 a1ra2 ,称 C C C 是由相容关系 r r r 产生的相容类。
定义 3 - 11.3
设 r r r 是集合 A A A 上的相容关系,不能真包含在任何其他相容类中的相容类,称作最大相容类。记作 C r C_r Cr 。
定理 3 - 11.1
设 r r r 是有限集 A A A 上的相容关系, C C C 是一个相容类,那么必存在一个最大相容类 C r C_r Cr ,使得 C ⊆ C r C \subseteq C_r C⊆Cr 。
定义 3 - 11.4
在集合 A A A 上给定相容关系 r r r ,其最大相容类的集合称为集合 A A A 的完全覆盖,记作 C r ( A ) C_r(A) Cr(A) 。
定理 3 - 11.2
给定集合 A A A 的覆盖 { A 1 , A 2 , ⋯   , A n } \{A_1,A_2,\cdots,A_n\} {A1,A2,⋯,An} ,由它确定的关系 R = A 1 × A 1 ∪ A 2 × A 2 ∪ ⋯ ∪ A n × A n R = A_1 \times A_1 \cup A_2 \times A_2 \cup \cdots \cup A_n \times A_n R=A1×A1∪A2×A2∪⋯∪An×An 是相容关系。
定理 3 - 11.3
集合 A A A 上相容关系 r r r 与完全覆盖 C r ( A ) C_r(A) Cr(A) 存在一一对应。
定义 3 - 12.1
设 A A A 是一个集合,如果 A A A 上的一个关系 R R R ,满足自反性,反对称性和传递性,则称 R R R 是 A A A 上的一个偏序关系,并把它记为“ ≼ \preccurlyeq ≼ ”。序偶 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 称作偏序集。
定义 3 - 12.2
在偏序集合 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 中,如果 x , y ∈ A , x ≼ y , x ≠ y x,y \in A,x \preccurlyeq y,x \ne y x,y∈A,x≼y,x̸=y 且没有其他元素 z z z 满足 x ≼ z , z ≼ y x \preccurlyeq z,z\preccurlyeq y x≼z,z≼y ,则称元素 y y y 盖住元素 x x x 。并且记集合 { ⟨ x , y ⟩ ∣ x , y ∈ A ; y 盖 住 x } \{ \langle x,y \rangle \vert x,y \in A;y盖住x\} {⟨x,y⟩∣x,y∈A;y盖住x} 为 COV A \text{COV }A COV A 。
COV是cover的缩写。
对于给定偏序集 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq\rangle ⟨A,≼⟩ ,它的盖住关系是唯一的,所以可用盖住的性质画出偏序集合图,或称哈斯图,其作图规则为:
(1)用小圆圈代表元素。
(2)如果 x ≼ y x\preccurlyeq y x≼y 且 x ≠ y x\ne y x̸=y ,则将代表 y y y 的小圆圈画在代表 x x x 的小圆圈上方。
(3)如果 ⟨ x , y ⟩ ∈ COV A \langle x,y \rangle\in \text{COV }A ⟨x,y⟩∈COV A ,则在 x x x 与 y y y 之间用直线连接。
(笔者按:哈斯图很像图论中的有向图,边的方向决定顶点的上下关系)
定义 3 - 12.3
设 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 是一个偏序集合,在 A A A 的一个子集中,如果每两个元素都是有关系的,则称这个子集为链。在 A A A 的一个子集中,如果每两个元素都是无关的,则称这个子集为反链。
定义 3 - 12.4
在偏序集合 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 中,如果 A A A 是一个链,则称 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 为全序集合或称线序集合,在这种情况下,二元关系 ≼ \preccurlyeq ≼ 称为全序关系或称线序关系。
定义 3 - 12.5
设 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 是一个偏序集合,且 B B B 是 A A A 的子集,对于 B B B 中的一个元素 b b b ,如果 B B B 中没有任何元素 x x x 满足 b ≠ x b \ne x b̸=x 且 b ≼ x b \preccurlyeq x b≼x ,则称 b b b 为 B B B 的极大元。同理,对于 b ∈ B b \in B b∈B ,如果 B B B 中没有任何元素 x x x ,满足 b ≠ x b \ne x b̸=x 且 x ≼ b x \preccurlyeq b x≼b ,则称 b b b 为 B B B 的极小元。
定义 3 - 12.6
令 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 是一个偏序集,且 B B B 是 A A A 的子集,若有某个元素 b ∈ B b \in B b∈B ,对于 B B B 中每一个元素 x x x 有 x ≼ b x \preccurlyeq b x≼b ,则称 b b b 为 ⟨ B , ≼ ⟩ \langle B,\preccurlyeq \rangle ⟨B,≼⟩ 的最大元。同理,若有某个元素 b ∈ B b \in B b∈B ,对每一个 x ∈ B x \in B x∈B 有 b ≼ x b \preccurlyeq x b≼x ,则称 b b b 为 ⟨ B , ≼ ⟩ \langle B,\preccurlyeq \rangle ⟨B,≼⟩ 的最小元。
定理 3 - 12.1
令 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 为偏序集且 B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,若 B B B 有最大(小)元,则必是唯一的。
定义 3 - 12.7
设 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 为一偏序集,对于 B ⊆ A B\subseteq A B⊆A ,如有 a ∈ A a\in A a∈A ,且对 B B B 的任意元素 x x x ,都满足 x ≼ a x\preccurlyeq a x≼a ,则称 a a a 为子集 B B B 的上界。同样地,对于 B B B 的任意元素 x x x ,都满足 a ≼ x a\preccurlyeq x a≼x ,则称 a a a 为 B B B 的下界。
定义 3 - 12.8
设 ⟨ A , ≼ ⟩ \langle A,\preccurlyeq \rangle ⟨A,≼⟩ 为偏序集且 B ⊆ A B\subseteq A B⊆A 为一子集, a a a 为 B B B 的任一上界,若对 B B B 的所有上界 y y y 均有 a ≼ y a\preccurlyeq y a≼y ,则称 a a a 为 B B B 的最小上界(上确界),记作 LUB B \text{LUB }B LUB B 。同样,若 b b b 为 B B B 的任一下界,若对 B B B 的所有下界 z z z ,均有 z ≼ b z\preccurlyeq b z≼b ,则称 b b b 为 B B B 的最大下界(下确界),记作 GLB B \text{GLB }B GLB B 。
(笔者按:LUB和GLB分别是least upper bound和greatest lower bound的缩写。)
定义 3 - 12.9
任一偏序集合,假如它的每一个非空子集存在最小元素,这种偏序集称为良序的。
定理 3 - 12.2
每一个良序集合,一定是全序集合。
定理 3 - 12.3
每一个有限的全序集合,一定是良序集合。
定义 4 - 1.1
设 X X X 和 Y Y Y 是任意两个集合,而 f f f 是 X X X 到 Y Y Y 的一个关系,如果对于每一个 x ∈ X x\in X x∈X ,有唯一的 y ∈ Y y\in Y y∈Y ,使得 ⟨ x , y ⟩ ∈ f \langle x,y \rangle\in f ⟨x,y⟩∈f ,称关系 f f f 为函数,记作 f : X → Y 或 X → f Y f:X\rightarrow Y\text{ 或 }X\overset{f}{\rightarrow}Y f:X→Y 或 X→fY
定义 4 - 1.2
设函数 f : A → B , g : C → D f:A\rightarrow B,g:C\rightarrow D f:A→B,g:C→D ,如果 A = C , B = D A=C,B=D A=C,B=D ,且对于所有 x ∈ A x\in A x∈A 和 x ∈ C x\in C x∈C ,有 f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x) ,则称函数 f f f 和 g g g 相等,记作 f = g f=g f=g 。
定义 4 - 1.3
对于 X → f Y X\overset{f}{\rightarrow}Y X→fY 的映射中,如果 ran f = Y \text{ran }f=Y ran f=Y ,即 Y Y Y 的每一个元素是 X X X 中一个或多个元素的象点,则称这个映射为满射(或到上映射)。
定义 4 - 1.4
从 X X X 到 Y Y Y 的映射中, X X X 中没有两个元素有相同的象,则称这个映射为入射(或一对一映射)。设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 是入射,即是对于任意 x 1 , x 2 ∈ X x_1,x_2\in X x1,x2∈X ,如果 x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2) x1̸=x2⇒f(x1)̸=f(x2)或者 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 f(x1)=f(x2)⇒x1=x2
定义 4 - 1.5
从 X X X 到 Y Y Y 的一个映射,若既是满射又是入射的,则称这个映射是双射的。
定理 4 - 1.1
令 X X X 和 Y Y Y 为有限集,若 X X X 和 Y Y Y 的元素个数相同,即 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ \vert X \vert = \vert Y \vert ∣X∣=∣Y∣ ,则 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 是入射的,当且仅当它是一个满射。
定理 4 - 2.1
设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 是一双射函数,那么 f c f_c fc 是 Y → X Y\rightarrow X Y→X 的双射函数。
定义 4 - 2.1
设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 是一双射函数,称 Y → X Y \rightarrow X Y→X 的双射函数 f c f_c fc 为 f f f 的逆函数,记作 f − 1 f^{-1} f−1 。
定义 4 - 2.2
设函数 f : X → Y , g : W → Z f:X\rightarrow Y,g:W\rightarrow Z f:X→Y,g:W→Z ,若 f ( X ) ⊆ W f(X)\subseteq W f(X)⊆W ,则 g ∘ f = { ⟨ x , z ⟩ ∣ x ∈ X ∧ z ∈ Z ∧ ( ∃ y ) ( y ∈ Y ∧ y = f ( x ) ∧ z = g ( y ) ) } g\circ f=\{\langle x,z \rangle \vert x \in X \wedge z \in Z \wedge (\exist y)(y \in Y \wedge y=f(x) \wedge z = g(y))\} g∘f={⟨x,z⟩∣x∈X∧z∈Z∧(∃y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))} ,称 g g g 在函数 f f f 的左边可复合。
定理 4 - 2.2
两个函数的复合是一个函数。
定理 4 - 2.3
令 g ∘ f g\circ f g∘f 是一个复合函数,
a) 若 g g g 和 f f f 是满射的,则 g ∘ f g\circ f g∘f 是满射的。
b) 若 g g g 和 f f f 是入射的,则 g ∘ f g\circ f g∘f 是入射的。
c) 若 g g g 和 f f f 是双射的,则 g ∘ f g\circ f g∘f 是双射的。
定义 4 - 2.3
函数 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 叫做常函数,如果存在某个 y 0 ∈ Y y_0\in Y y0∈Y ,对于每个 x ∈ X x\in X x∈X 都有 f ( x ) = y 0 f(x)=y_0 f(x)=y0 ,即 f ( X ) = { y 0 } f(X)=\{y_0\} f(X)={y0} 。
定义 4 - 2.4
如果 I X = { ⟨ x , x ⟩ ∣ x ∈ X } I_X=\{\langle x,x \rangle \vert x \in X\} IX={⟨x,x⟩∣x∈X} 则称函数 I X : X → X I_X:X\rightarrow X IX:X→X 为恒等函数。
定理 4 - 2.4
设函数 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y ,则 f = f ∘ I X = I Y ∘ f f=f\circ I_X=I_Y \circ f f=f∘IX=IY∘f 。
定理 4 - 2.5
如果函数 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 有逆函数 f − 1 : Y → X f^{-1}:Y \rightarrow X f−1:Y→X ,则 f − 1 ∘ f = I X f^{-1}\circ f =I_X f−1∘f=IX 且 f ∘ f − 1 = I Y f\circ f^{-1}=I_Y f∘f−1=IY 。
定理 4 - 2.6
若 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y 是一一对应的函数,则 ( f − 1 ) − 1 = f (f^{-1})^{-1}=f (f−1)−1=f 。
定理 4 - 2.7
若 f : X → Y , g : Y → Z f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z f:X→Y,g:Y→Z 均为一一对应函数,则 ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} (g∘f)−1=f−1∘g−1 。
定义 4 - 3.1
令 E E E 是全集, A A A 是 E E E 的子集, A ⊆ E A\subseteq E A⊆E ,由 ψ A ( x ) = { 1 , x ∈ A 0 , 其他 \psi_A(x)=\left\{\begin{aligned}&1,x\in A\\&0,\text{其他}\end{aligned}\right. ψA(x)={1,x∈A0,其他定义的函数 ψ A : E → { 0 , 1 } \psi_A:E\rightarrow\{0,1\} ψA:E→{0,1} ,称为集合 A A A 的特征函数。
设 A A A 和 B B B 是全集 E E E 的任何两个子集,对于所有 x ∈ E x\in E x∈E ,特征函数有如下一些性质: ψ A ( x ) = 0 ⇔ A = ∅ ψ A ( x ) = 1 ⇔ A = E ψ A ( x ) ⩽ ψ B ( x ) ⇔ A ⊆ B ψ A ( x ) = ψ B ( x ) ⇔ A = B ψ A ∩ B ( x ) = ψ A ( x ) ∗ ψ B ( x ) ψ A ∪ B ( x ) = ψ A ( x ) + ψ B ( x ) − ψ A ∩ B ( x ) ψ ∼ A ( x ) = 1 − ψ A ( x ) ψ A − B ( x ) = ψ A ∩ ∼ B ( x ) = ψ A ( x ) − ψ A ∩ B ( x ) \psi_A(x)=0\Leftrightarrow A=\varnothing\\\psi_A(x)=1\Leftrightarrow A=E\\\psi_A(x)\leqslant\psi_B(x)\Leftrightarrow A\subseteq B\\\psi_A(x)=\psi_B(x)\Leftrightarrow A=B\\\psi_{A\cap B}(x)=\psi_A(x)*\psi_B(x)\\\psi_{A\cup B}(x)=\psi_A(x)+\psi_B(x)-\psi_{A\cap B}(x)\\\psi_{\sim A}(x)=1-\psi_A(x)\\\psi_{A-B}(x)=\psi_{A\cap\sim B}(x)=\psi_A(x)-\psi_{A\cap B}(x) ψA(x)=0⇔A=∅ψA(x)=1⇔A=EψA(x)⩽ψB(x)⇔A⊆BψA(x)=ψB(x)⇔A=BψA∩B(x)=ψA(x)∗ψB(x)ψA∪B(x)=ψA(x)+ψB(x)−ψA∩B(x)ψ∼A(x)=1−ψA(x)ψA−B(x)=ψA∩∼B(x)=ψA(x)−ψA∩B(x)
定义 4 - 3.2
给定论域 E E E ,指定 E E E 上的一个模糊子集 A A A 是指对任意 x ∈ E x\in E x∈E 都有一个隶属程度 μ = ψ A ( x ) ( 0 ⩽ μ ⩽ 1 ) \mu=\psi_A(x)(0\leqslant\mu\leqslant1) μ=ψA(x)(0⩽μ⩽1) 与它对应,称 ψ A x \psi_A{x} ψAx 为 A A A 的隶属函数。
定义 4 - 4.1
给定集合 A A A 的后继集定义为集合 A + : A ∪ { A } A^+:A\cup\{A\} A+:A∪{A} 。
令 A = ∅ A=\varnothing A=∅ ,并命名集合 ∅ \varnothing ∅ 为 0 0 0 ,那么, A + = ∅ + = 0 + = { ∅ } = 1 1 + = { ∅ , { ∅ } } = 2 2 + = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } = 3 ⋯ A^+=\varnothing^+=0^+=\{\varnothing\}=1\\1^+=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=2\\2^+=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}=3\\\cdots A+=∅+=0+={∅}=11+={∅,{∅}}=22+={∅,{∅},{∅,{∅}}}=3⋯ 这样就得到了自然数集合,这个集合亦能概括为如下公理形式(皮亚诺公理):
1) 0 ∈ N 0\in N 0∈N (其中 0 = ∅ 0=\varnothing 0=∅)
2) 如果 n ∈ N n\in N n∈N ,那么 n + ∈ N n^+\in N n+∈N (其中 n + = n ∪ { n } n^+=n\cup\{n\} n+=n∪{n})
3) 如果一个子集 S ⊆ U S\subseteq U S⊆U 具有以下性质:
a) 0 ∈ S 0 \in S 0∈S
b) 如果 n ∈ S n\in S n∈S ,有 n + ∈ S n^+\in S n+∈S ,则 S = N S=N S=N 。
公理3)称极小性质,它指明了自然数系统的最小性,即自然数系统是满足公理1)和2)的最小集合。
定义 4 - 4.2
给定两个集合 P P P 与 Q Q Q ,如果我们对 P P P 中每个不同元素,与 Q Q Q 中每个不同元素,可以分别两两成对,那么我们说 P P P 的元素与 Q Q Q 的元素存在着一一对应。
定义 4 - 4.3
当且仅当集合 A A A 的元素与集合 B B B 的元素之间存在着一一对应,集合 A A A 与集合 B B B 称为是等势的(或称等浓的)。记作 A ∼ B A\sim B A∼B 。
定理 4 - 4.1
在集合族上等势关系是一个等价关系。
定义 4 - 4.4
如果有一个从集合 { 0 , 1 , ⋯   , n − 1 } \{0,1,\cdots,n-1\} {0,1,⋯,n−1} 到 A A A 的双射函数,那么称集合 A A A 是有限的;否则是无限的。
定理 4 - 4.2
自然数集合 N N N 是无限的。
定义 4 - 4.5
所有与集合 A A A 等势的集合所形成的集合,叫做集合 A A A 的基数,记为 K [ A ] K[A] K[A] (或 A ‾ ‾ \overline{\overline{A}} A) 。
定义 4 - 5.1
与自然数集合等势的任意集合称为可数的,可数集合的基数用 ℵ 0 \bm{\aleph}_0 ℵ0 表示。
定理 4 - 5.1
A A A 为可数集的充分必要条件是可以排列成 A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n , ⋯   } A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\} A={a1,a2,⋯,an,⋯} 的形式。
定理 4 - 5.2
任一无限集,必含有可数子集。
定理 4 - 5.3
任一无限集合必与其某一真子集等势。
定理 4 - 5.4
可数集的任何无限子集是可数的。
定理 4 - 5.5
可数个两两不相交的可数集合的并集,仍然是一可数集。
定理 4 - 5.6
设自然数集合 N N N ,则 N × N N\times N N×N 是可数集。
定理 4 - 5.7
有理数的全体组成的集合是可数集。
定理 4 - 5.8
全体实数构成的集合 R R R 是不可数的。
我们把集合 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 的基数记为 ℵ \bm{\aleph} ℵ ,因为 ( 0 , 1 ) ∼ R (0,1)\sim R (0,1)∼R ,故 K [ R ] = ℵ K[R]=\bm{\aleph} K[R]=ℵ 。 ℵ \bm{\aleph} ℵ 也称作连续统的势。
定义 4 - 6.1
若从集合 A A A 到集合 B B B 存在一个入射,则称 A A A 的基数不大于 B B B 的基数,记作 K [ A ] ⩽ K [ B ] K[A]\leqslant K[B] K[A]⩽K[B] 。若从 A A A 到 B B B 存在一个入射,但不存在双射,则称 A A A 的基数小于 B B B 的基数,记作 K [ A ] < K [ B ] K[A]<K[B] K[A]<K[B] 。
定理 4 - 6.1(Zermelo 定理)
令 A A A 和 B B B 是任意集合,则以下三条中恰有一条成立。
a) K [ A ] < K [ B ] K[A]<K[B] K[A]<K[B] 。
b) K [ B ] < K [ A ] K[B]<K[A] K[B]<K[A] 。
c) K [ A ] = K [ B ] K[A]=K[B] K[A]=K[B] 。
定理 4 - 6.2(CSB 定理)
设 A A A 和 B B B 是集合,如果 K [ A ] ⩽ K [ B ] , K [ B ] ⩽ K [ A ] K[A]\leqslant K[B],K[B]\leqslant K[A] K[A]⩽K[B],K[B]⩽K[A] ,则 K [ A ] = K [ B ] K[A]=K[B] K[A]=K[B] 。
定理 4 - 6.3
设 A A A 是有限集合,则 K [ A ] < ℵ 0 < ℵ K[A]<\bm{\aleph}_0<\bm{\aleph} K[A]<ℵ0<ℵ 。
定理 4 - 6.4
如果 A A A 是无限集,那么 ℵ 0 ⩽ K [ A ] \bm{\aleph}_0\leqslant K[A] ℵ0⩽K[A] 。
定理 4 - 6.5(Cantor 定理)
设 M M M 是一个集合, T = P ( M ) T=\mathscr{P}(M) T=P(M) ,则 K [ M ] < K [ T ] K[M]<K[T] K[M]<K[T] 。
这个定理指出了没有最大的基数和最大的集合。