离散数学学习笔记【第三篇】

本文所有内容来自上海科学技术文献出版社《离散数学》第三篇。

第三篇 代数结构

第五章 代数系统

5-1 代数系统的引入

定义 5 - 1.1
对于集合 $A$ ，一个从 $A^n$ 到 $B$ 的映射，称为集合 $A$ 上的一个 $n$ 元运算。如果 $B\subseteq A$ ，则称该 $n$ 元运算是封闭的。

定义 5 - 1.2
一个非空集合 $A$ 连同若干个定义在该集合上的运算 $f_1,f_2,\cdots ,f_k$ 所组成的系统就称为一个代数系统，记作 $⟨A,f_1,f_2,\cdots ,f_k⟩$ 。

5-2 运算及其性质

定义 5 - 2.1
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y\in A$ ，都有 $x\ast y\in A$ ，则称二元运算 $\ast$ 在 $A$ 上是封闭的。

定义 5 - 2.2
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y\in A$ ，都有 $x\ast y=y\ast x$ ，则称二元运算 $\ast$ 在 $A$ 上是可交换的。

定义 5 - 2.3
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y,z\in A$ ，都有 $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ ，则称二元运算 $\ast$ 在 $A$ 上是可结合的。

定义 5 - 2.4
设 $\ast ,△$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y,z\in A$ ，都有 $$\begin{gathered} x\ast (y△z)=(x\ast y)△(x\ast z) \\ (y△z)\ast x=(y\ast x)△(z\ast x) \end{gathered}$$ 则称运算 $\ast$ 对于运算 $△$ 是可分配的。

定义 5 - 2.5
设 $\ast ,△$ 是定义在集合 $A$ 上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的 $x,y\in A$ ，都有 $$\begin{gathered} x\ast (x△y)=x \\ x△(x\ast y)=x \end{gathered}$$ 则称运算 $\ast$ 和运算 $△$ 满足吸收律。

定义 5 - 2.6
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果对于任意的 $x\in A$ ，都有 $x\ast x=x$ ，则称运算 $\ast$ 是等幂的。

定义 5 - 2.7
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果有一个元素 $e_l\in A$ ，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $e_l\ast x=x$ ，则称 $e_l$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的左幺元；如果有一个元素 $e_r\in A$ ，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $x\ast e_r=x$ ，则称 $e_r$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的右幺元；如果 $A$ 中的一个元素 $e$ ，它既是左幺元又是右幺元，则称 $e$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的幺元。

定理 5 - 2.1
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，且在 $A$ 中有关于运算 $\ast$ 的左幺元 $e_l$ 和右幺元 $e_r$ ，则 $e_l=e_r=e$ ，且 $A$ 中的幺元是唯一的。

定义 5 - 2.8
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果有一个元素 ${\theta }_l\in A$ ，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 ${\theta }_l\ast x={\theta }_l$ ，则称 ${\theta }_l$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的左零元；如果有一个元素 ${\theta }_r\in A$ ，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $x\ast {\theta }_r={\theta }_r$ ，则称 ${\theta }_r$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的右零元；如果 $A$ 中的一个元素 $\theta$ ，它既是左零元又是右零元，则称 $\theta$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的零元。

定理 5 - 2.2
设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，且在 $A$ 中有关于运算 $\ast$ 的左零元 ${\theta }_l$ 和右零元 ${\theta }_r$ ，则 ${\theta }_l={\theta }_r=\theta$ ，且 $A$ 中的零元是唯一的。

定理 5 - 2.3
设 $⟨A,\ast ⟩$ 是一个代数系统，且集合 $A$ 中元素的个数大于 $1$ 。如果该代数系统中存在幺元 $e$ 和零元 $\theta$ ，则 $\theta ̸=e$ 。

证明：
反证法。设 $\theta =e$ ，那么对于任意的 $x\in A$ ，必有 $x=e\ast x=\theta \ast x=\theta =e$ ，则 $A$ 中所有元素都相同，矛盾！

定义 5 - 2.9
设代数系统 $⟨A,\ast ⟩$ ，这里 $\ast$ 是定义在 $A$ 上的一个二元运算，且 $e$ 是 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的幺元。如果对于 $A$ 中的一个元素 $a$ 存在着 $A$ 中的某个元素 $b$ ，使得 $b\ast a=e$ ，那么称 $b$ 为 $a$ 的左逆元；如果 $a\ast b=e$ 成立，那么称 $b$ 为 $a$ 的右逆元；如果一个元素 $b$ ，它既是 $a$ 的左逆元又是 $a$ 的右逆元，那么就称 $b$ 是 $a$ 的逆元。记一个元素 $x$ 的逆元为 $x^{-1}$ 。

定理 5 - 2.4
设代数系统 $⟨A,\ast ⟩$ ，这里 $\ast$ 是定义在 $A$ 上的一个二元运算， $A$ 中存在幺元 $e$ ，且每一个元素都有左逆元。如果 $\ast$ 是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。

证明：
设 $a,b,c\in A$ ，且 $b$ 是 $a$ 的左逆元， $c$ 是 $b$ 的左逆元，则 $e=c\ast b=c\ast ((b\ast a)\ast b)=((c\ast b)\ast a)\ast b=a\ast b$ ，因此 $b$ 也是 $a$ 的右逆元。
设元素 $a$ 有两个逆元 $b,c$ ，那么 $b=b\ast e=b\ast (a\ast c)=(b\ast a)\ast c=c$ ，因此， $a$ 的逆元是唯一的。

5-3 半群

定义 5 - 3.1
一个代数系统 $⟨S,\ast ⟩$ ，其中 $S$ 是非空集合， $\ast$ 是 $S$ 上的二元运算，如果运算 $\ast$ 是封闭的，则称代数系统 $⟨S,\ast ⟩$ 为广群。

定义 5 - 3.2
一个代数系统 $⟨S,\ast ⟩$ ，其中 $S$ 是非空集合， $\ast$ 是 $S$ 上的二元运算，如果运算：
（1）运算 $\ast$ 是封闭的。
（2）运算 $\ast$ 是可结合的。
则称代数系统 $⟨S,\ast ⟩$ 为半群。

定理 5 - 3.1
设 $⟨S,\ast ⟩$ 是一个半群， $B\subseteq S$ 且 $\ast$ 在 $B$ 上是封闭的，那么 $⟨B,\ast ⟩$ 也是一个半群。通常称 $⟨B,\ast ⟩$ 是半群 $⟨S,\ast ⟩$ 的子半群。

定理 5 - 3.2
设 $⟨S,\ast ⟩$ 是一个半群，如果 $S$ 是一个有限集，则必有 $a\in S$ ，使得 $a\ast a=a$ 。

证明：
对于有限集 $S$ 中的任意元素 $b$ ，必存在 $j>i$ ，使得 $b^i=b^j$ 。
令 $p=j-i$ ，则 $b^i=b^p\ast b^i$ ，则有 $b^q=b^p\ast b^q,q⩾i$ 。
因为 $p⩾1$ ，所以总能找到 $k⩾1$ ，使得 $kp⩾i$ 。
则 $b^{kp}=b^p\ast b^{kp}=b^p\ast (b^p\ast b^{kp})=\cdots =b^{kp}\ast b^{kp}$ 。证毕。

定义 5 - 3.3
含有幺元的半群称为独异点。

定理 5 - 3.3
设 $⟨S,\ast ⟩$ 是一个独异点，则在关于运算 $\ast$ 的运算表中任何两行或两列都是不相同的。

证明： 含幺元 $e$ 的一行上各列各不相同。

定理 5 - 3.4
设 $⟨S,\ast ⟩$ 是独异点，对于任意 $a,b\in S$ ，且 $a,b$ 均有逆元，则
（a）$(a^{-1}{)}^{-1}=a$ 。
（b）$a\ast b$ 有逆元，且 $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$ 。

5-4 群与子群

定义 5 - 4.1
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个代数系统，其中 $G$ 是非空集合， $\ast$ 是 $G$ 上的二元运算，如果
（1）运算 $\ast$ 是封闭的。
（2）运算 $\ast$ 是可结合的。
（3）存在幺元 $e$ 。
（4）对于每一个元素 $x\in G$ ，存在着它的逆元 $x^{-1}$ 。
则称 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群。

定义 5 - 4.2
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是群。如果 $G$ 是有限集，那么称 $⟨G,\ast ⟩$ 为有限群， $G$ 中元素的个数通常称为该有限集的阶数，记为 $|G|$ ；如果 $G$ 是无限集，则称 $⟨G,\ast ⟩$ 为无限群。

定理 5 - 4.1
群中不可能有零元。

证明： 零元 $\theta$ 不存在逆元。

定理 5 - 4.2
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群，对于 $a,b\in G$ ，必存在唯一的 $x\in G$ ，使得 $a\ast x=b$ 。

定理 5 - 4.3
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群，对于任意的 $a,b,c\in G$ ，如果有 $a\ast b=a\ast c$ 或者 $b\ast a=c\ast a$ ，则必有 $b=c$ （消去律）。

定义 5 - 4.3
设 $S$ 是一个非空集合，从集合 $S$ 到 $S$ 的一个双射称为 $S$ 的一个置换。

定理 5 - 4.4
群 $⟨G,\ast ⟩$ 的运算表中的每一行或每一列都是 $G$ 的元素的一个置换。

证明：
先用反证法证明运算表中任一行或任一列所含 $G$ 中的一个元素不可能多于一次。
其次，证明 $G$ 中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。
最后利用定理 5 - 3.3即证。

定义 5 - 4.4
代数系统 $⟨G,\ast ⟩$ 中，如果存在 $a\in G$ ，有 $a\ast a=a$ ，则称 $a$ 为等幂元。

定理 5 - 4.5
在群 $⟨A,\ast ⟩$ 中，除幺元 $e$ 外，不可能有任何别的等幂元。

证明： $e̸=a=e\ast a=(a^{-1}\ast a)\ast a=a^{-1}\ast (a\ast a)=a^{-1}\ast a=e$ ，矛盾。

定义 5 - 4.5
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $S$ 是 $G$ 的非空子集，如果 $⟨S,\ast ⟩$ 也构成群，则称 $⟨S,\ast ⟩$ 是 $⟨G,\ast ⟩$ 的一个子群。

定理 5 - 4.6
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $⟨S,\ast ⟩$ 是 $⟨G,\ast ⟩$ 的一个子群，那么 $⟨G,\ast ⟩$ 中的幺元 $e$ 必定也是 $⟨S,\ast ⟩$ 中的幺元。

证明： $e_G\ast x=x=e_S\ast x\iff e_G=e_S$ 。

定义 5 - 4.6
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $⟨S,\ast ⟩$ 是 $⟨G,\ast ⟩$ 的子群，如果 $S=\{e\}$ 或者 $S=G$ ，则称 $⟨S,\ast ⟩$ 为 $⟨G,\ast ⟩$ 的平凡子群。

定理 5 - 4.7
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $B$ 是 $G$ 的非空子集，如果 $B$ 是一个有限集，那么，只要运算 $\ast$ 在 $B$ 上封闭， $⟨B,\ast ⟩$ 必定是 $⟨G,\ast ⟩$ 的子群。

证明：
$b\in B,b^i=b^j,i<j$ ，则 $b^i=b^{j-i}\ast b^i$ ，则 $b^{j-i}$ 是幺元。
如果 $j-i>1$ ，则由 $b^{j-i}=b\ast b^{j-i-1}$ 可知 $b^{j-i-1}$ 是 $b$ 的逆元；
如果 $j-i=1$ ，则由 $b^i=b\ast b^i$ 可知 $b$ 是幺元，逆元是它本身。

定理 5 - 4.8
设 $⟨G,△⟩$ 是群， $S$ 是 $G$ 的非空子集，如果对于 $S$ 中的任意元素 $a$ 和 $b$ 有 $a△b^{-1}\in S$ ，则 $⟨S,△⟩$ 是 $⟨G,△⟩$ 的子群。

证明：
首先证明， $G$ 中的幺元也是 $S$ 中的幺元（ $a△a^{-1}=e\in S$ ）。
其次证明， $S$ 中的每一元素都有逆元（ $a^{-1}=e△a^{-1}\in S$ ）。
最后证明， $△$ 在 $S$ 上是封闭的（ $a△b=a△(b^{-1}{)}^{-1}\in S$ ）。

5-5 阿贝尔群和循环群

定义 5 - 5.1
如果群 $⟨G,\ast ⟩$ 中的运算 $\ast$ 是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。

定理 5 - 5.1
群 $⟨G,\ast ⟩$ 是阿贝尔群的充要条件是对任意的 $a,b\in G$ ，有 $(a\ast b)\ast (a\ast b)=(a\ast a)\ast (b\ast b)$ 。

证明：
（1）充分性
$$\begin{array}{rl}a\ast (a\ast b)\ast b& =(a\ast a)\ast (b\ast b)\\ & =(a\ast b)\ast (a\ast b)\\ & =a\ast (b\ast a)\ast b\end{array}$$两边同乘逆元，则有 $a\ast b=b\ast a$ 。
（2）必要性
$$\begin{array}{rl}(a\ast a)\ast (b\ast b)& =a\ast (a\ast b)\ast b\\ & =a\ast (b\ast a)\ast b\\ & =(a\ast b)\ast (a\ast b)\end{array}$$

定义 5 - 5.2
设 $⟨G,\ast ⟩$ 为群，若在 $G$ 中存在一个元素 $a$ ，使得 $G$ 中的任意元素都由 $a$ 的幂组成，则称该群为循环群，元素 $a$ 称为循环群 $G$ 的生成元。

定理 5 - 5.2
任何一个循环群必定是阿贝尔群。

证明：
设 $x=a^r,y=a^s$ ，则 $x\ast y=a^r\ast a^s=a^{r+s}=a^{s+r}=a^s\ast a^r=y\ast x$ 。

定理 5 - 5.3
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个由元素 $a\in G$ 生成的有限循环群。如果 $G$ 的阶数是 $n$ ，即 $|G|=n$ ，则 $a^n=e$ ，且 $$G=\{a,a^2,a^3,\cdots ,a^{n-1},a^n=e\}$$其中， $e$ 是 $⟨G,\ast ⟩$ 中的幺元， $n$ 是使 $a^n=e$ 的最小正整数（称 $n$ 为元素 $a$ 的阶）。

证明：
假设存在 $m<n$ 满足 $a^m=e$ 。
那么，由于 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个循环群，所以 $G$ 中的任何元素都能表示成 $a^k$ ，其中 $k=mq+r,q\in I,0⩽r<m$ 。
因此， $G$ 中所有元素都能表示成 $a^r$ ，则 $G$ 中最多只有 $m$ 个不同的元素，与 $|G|=n$ 矛盾！

*5-6 置换群与伯恩赛德定理

定义 5 - 6.1
设 ${\pi }_1,{\pi }_2\in S_n$ ， $S_n$ 上的二元运算 $\circ$ 和 $\diamond$ ，使得 ${\pi }_1\circ {\pi }_2$ 和 ${\pi }_2\diamond {\pi }_1$ 都表示对 $S$ 的元素先应用置换 ${\pi }_2$ ，接着再应用置换 ${\pi }_1$ 所得到的置换。二元运算 $\circ$ 和 $\diamond$ 分别称为左复合和右复合。

定理 5 - 6.1
$⟨S_n,\circ ⟩$ 是一个群，其中 $\circ$ 是置换的左复合运算。

证明：
（1）首先证明 $\circ$ 在 $S_n$ 上的封闭性。
设 ${\pi }_2(a)=c,{\pi }_2(b)=d,a̸=b$ ，则显然 $c̸=d$ 。
同理，若 ${\pi }_1(c)=e,{\pi }_1(d)=f$ ，则 $e̸=f$ ，因此 ${\pi }_1\circ {\pi }_2\in S_n$ 。
（2）其次证明 $\circ$ 在 $S_n$ 上是可结合的。
设 ${\pi }_3(x)=y,{\pi }_2(y)=z,{\pi }_1(z)=w$ ，则 $$({\pi }_1\circ {\pi }_2)\circ {\pi }_3(x)=({\pi }_1\circ {\pi }_2)y={\pi }_1(z)=w$$ $${\pi }_1\circ ({\pi }_2\circ {\pi }_3(x))={\pi }_1\circ ({\pi }_2(y))={\pi }_1(z)=w$$（3）接着证明 $S_n$ 中存在幺元 ${\pi }_e$ 。
显然，满足 $\forall {\pi }_x\in S_n,{\pi }_e\circ {\pi }_x={\pi }_x$ 的 ${\pi }_e$ 即为幺元。
（4）最后，证明 $S_n$ 中所有元素存在逆元。
$\forall \pi \in S,\exists {\pi }^{-1}\in S_n$ ，使得 $\pi (x)=y\to {\pi }^{-1}(y)=x$ 。

定义 5 - 6.2
$⟨S_n,\ast ⟩$ 的任何一个子群，称为集合 $S$ 上的一个置换群。特别地，置换群 $⟨S_n,\circ ⟩$ 称为集合 $S$ 的对称群。

定义 5 - 6.3
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是 $S$ 的一个置换群，称 $$R=\{⟨a,b⟩|\pi (a)=b,\pi \in G\}$$ 为由 $⟨G,\ast ⟩$ 所诱导的 $S$ 上的二元关系。

定理 5 - 6.2
由置换群 $⟨G,\circ ⟩$ 所诱导的 $S$ 上的二元关系是一个等价关系。

定义 5 - 6.4
如果一个置换将一个元素映照到它自身，那么，这个元素就称为在这个置换下的不变元。

定理 5 - 6.3（伯恩赛德定理）
由 $S$ 的置换群 $⟨G,\circ ⟩$ 诱导等价关系将 $S$ 划分所得的等价类数目等于 $$\frac{1}{|G|}\sum _{\pi \in G}\psi (\pi )$$ 其中 $\psi (\pi )$ 表示在置换 $\pi$ 作用下的不变元的个数。

5-7 陪集与拉格朗日定理

定义 5 - 7.1
设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $A,B\in \mathcal{P}(G)$ 且 $A,B̸=\varnothing$ ，记 $$AB=\{a\ast b|a\in A,b\in B\}$$ 和 $$A^{-1}=\{a^{-1}|a\in A\}$$ 分别称为 $A,B$ 的积和 $A$ 的逆。

定义 5 - 7.2
设 $⟨H,\ast ⟩$ 是群 $⟨G,\ast ⟩$ 的一个子群， $a\in G$ ，则集合 $\{a\}H$ （ $H\{a\}$ ）称为由 $a$ 所确定的 $H$ 在 $G$ 中的左（右）陪集，简称为 $H$ 关于 $a$ 的左（右）陪集，记为 $aH$ （ $Ha$ ）。元素 $a$ 称为陪集 $aH$ （ $Ha$ ）的代表元素。

定理 5 - 7.1（拉格朗日定理）
设 $⟨H,\ast ⟩$ 是群 $⟨G,\ast ⟩$ 的一个子群，那么
（a） $R=\{⟨a,b⟩|a\in G,b\in G,a^{-1}\ast b\in H\}$ 是 $G$ 中的一个等价关系。对于 $a\in G$ ，若记 $[a{]}_R=\{x|x\in G,⟨a,x⟩\in R\}$ ，则 $[a{]}_R=aH$ 。
（b） 如果 $G$ 是有限群， $|G|=n$ ，$|H|=m$ ，则 $m\mid n$ 。

5-8 同态与同构

定义 5 - 8.1
设 $⟨A,★⟩$ 和 $⟨B,\ast ⟩$ 是两个代数系统， $★$ 和 $\ast$ 分别是 $A$ 和 $B$ 上的二（ $n$ ）元运算，设 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个映射，使得对任意的 $a_1,a_2\in A$ ，有 $f(a_1★a_2)=f(a_1)\ast f(a_2)$ ，则称 $f$ 为由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨B,\ast ⟩$ 的一个同态映射，称 $⟨A,★⟩$ 同态于 $⟨B,\ast ⟩$ ，记作 $A\sim B$ 。把 $⟨f(A),\ast ⟩$ 称为 $⟨A,★⟩$ 的一个同态象。其中 $f(A)=\{x|x=f(a),a\in A\}\subseteq B$ 。

定义 5 - 8.2
设 $f$ 是由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨B,\ast ⟩$ 的一个同态，如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个满射，则 $f$ 称为满同态；如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个入射，则 $f$ 称为单一同态；如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个双射，则 $f$ 称为同构映射，并称 $⟨A,★⟩$ 和 $⟨B,\ast ⟩$ 是同构的，记作 $A\cong B$ 。

定义 5 - 8.3
设 $⟨A,\star ⟩$ 是一个代数系统，如果 $f$ 是由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨A,★⟩$ 的同态，则称 $f$ 为自同态。如果 $g$ 是由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨A,★⟩$ 的同构，则称 $f$ 为自同构。

定理 5 - 8.1
设 $G$ 是代数系统的集合，则 $G$ 中代数系统之间的同构关系是等价关系。

定理 5 - 8.2
设 $f$ 是从代数系统 $⟨A,★⟩$ 到代数系统 $⟨B,\ast ⟩$ 的同态映射。如果 $⟨A,★⟩$ 是半群（独异点）（群），那么在 $f$ 作用下，同态象 $⟨f(A),\ast ⟩$ 也是半群（独异点）（群）。

定义 5 - 8.4
设 $f$ 是由群 $⟨G,★⟩$ 到群 $⟨G^{\prime },\ast ⟩$ 的同态映射， $e^{\prime }$ 是 $G^{\prime }$ 中的幺元，记 $\text{Ker}(f)=\{x|x\in G,f(x)=e^{\prime }\}$ ，称 $\text{Ker}(f)$ 为同态映射 $f$ 的核，简称 $f$ 的同态核。

定理 5 - 8.3
设 $f$ 是由群 $⟨G,★⟩$ 到群 $⟨G^{\prime },\ast ⟩$ 的同态映射， 则 $f$ 的同态核 $K$ 是 $G$ 的子群。

证明：
设 $k_1,k_2\in K$ ，则 $f(k_1★k_2)=f(k_1)\ast f(k_2)=e^{\prime }\ast e^{\prime }=e^{\prime }$ ，故 $k_1★k_2\in K$ 。又 $f(k^{-1})=f^{}(k{)}^{-1}=e^{\prime -1}=e^{\prime }$ ，故 $k^{-1}\in K$ 。因此， $⟨K,★⟩$ 是 $⟨G,★⟩$ 的子群。

定义 5 - 8.5
设 $⟨A,★⟩$ 是一个代数系统，并设 $R$ 是 $A$ 上的一个等价关系。如果当 $⟨a_1,a_2⟩,⟨b_1,b_2⟩\in R$ 时，蕴涵着 $⟨a_1★b_1,a_2★b_2⟩\in R$ ，则称 $R$ 为 $A$ 上关于 $★$ 的同余关系。由这个同余关系将 $A$ 划分成的等价类就称为同余类。

定理 5 - 8.4
设 $⟨A,★⟩$ 是一个代数系统， $R$ 是 $A$ 上的一个同余关系， $B=\{A_1,A_2,\cdots ,A_r\}$ 是由 $R$ 诱导的 $A$ 的一个划分，那么，必定存在新的代数系统 $⟨B,\ast ⟩$ ，它是 $⟨A,★⟩$ 的同态象。

定理 5 - 8.5
设 $f$ 是由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨B,\ast ⟩$ 的一个同态映射，如果在 $A$ 上定义二元关系 $R$ 为： $⟨a,b⟩\in R$ 当且仅当 $f(a)=f(b)$ ，那么， $R$ 是 $A$ 上的同余类。

形象地说，一个代数系统的同态象可以看作是当抽去该系统中某些元素的次要特征的情况下，对该系统的一种粗糙描述。如果我们把属于同一个同余类的元素看作是没有区别的，那么原系统的性态可以用同余类之间的相互关系来描述。

5-9 环与域

定义 5 - 9.1
设 $⟨A,★,\ast ⟩$ 是一个代数系统，如果满足：
（1） $⟨A,★⟩$ 是阿贝尔群。
（2） $⟨A,\ast ⟩$ 是半群。
（3）运算 $\ast$ 对于运算 $★$ 是可分配的。
则称 $⟨A,★,\ast ⟩$ 是环。

定理 5 - 9.1
设 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是一个环，则对任意的 $a,b,c\in A$ ，有
（1） $a\cdot \theta =\theta \cdot a=\theta$
（2） $a\cdot (-b)=(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$
（3） $(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$
（4） $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$
（5） $(b-c)\cdot a=b\cdot a-c\cdot a$
其中， $\theta$ 是加法幺元， $-a$ 是 $a$ 的加法逆元，并将 $a+(-b)$ 记为 $a-b$ 。

证明：
（1）因为 $\theta \cdot a=(\theta +\theta )\cdot a=\theta \cdot a+\theta \cdot a$ ，由加法运算的消去律，得 $\theta \cdot a=\theta$ 。同理可证 $a\cdot \theta =\theta$ 。
（2）因为 $a\cdot b+a\cdot (-b)=a\cdot [b+(-b)]=a\cdot \theta =\theta$ ，所以 $a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$ 。同理可证 $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$ 。

定义 5 - 9.2
设 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是环。如果 $⟨A,\cdot ⟩$ 是可交换的，则称 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是交换环。如果 $⟨A,\cdot ⟩$ 含有幺元，则称 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是含幺环。

定义 5 - 9.3
设 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是一个代数系统，如果满足：
（1） $⟨A,+⟩$ 是阿贝尔群。
（2） $⟨A,\cdot ⟩$ 是可交换独异点，且无零因子，即对任意的 $a,b\in A,a̸=\theta ,b̸=\theta$ 必有 $a\cdot b̸=\theta$ 。
（3） 运算 $\cdot$ 对于运算 $+$ 是可分配的。
则称 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是整环。

定理 5 - 9.2
在整环 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 中的无零因子条件等价于乘法消去律，即对于 $c̸=\theta$ 和 $c\cdot a=c\cdot b$ ，必有 $a=b$ 。

定义 5 - 9.4
设 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是一个代数系统，如果满足：
（1） $⟨A,+⟩$ 是阿贝尔群。
（2） $⟨A-\{\theta \},\cdot ⟩$ 是阿贝尔群。
（3） 运算 $\cdot$ 对于运算 $+$ 是可分配的。
则称 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是域。

定理 5 - 9.3
域一定是整环。

定理 5 - 9.4
有限整环必定是域。

定义 5 - 9.5
设 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 和 $⟨B,\oplus ,\odot ⟩$ 是两个代数系统，如果一个从 $A$ 到 $B$ 的映射 $f$ ，满足如下条件：
对任意的 $a,b\in A$ ，有
（1） $f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$
（2） $f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)$
则称 $f$ 为由 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 到 $⟨B,\oplus ,\odot ⟩$ 的一个同态映射，并称 $⟨f(A),\oplus ,\odot ⟩$ 是 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 的同态象。

定理 5 - 9.5
任一环的同态象是一个环。

证明：
设 $⟨A,+,\cdot ⟩$ 是一个环， $⟨B,\oplus ,\odot ⟩$ 是其在同态映射 $f$ 下的同态象。
由 $⟨A,+⟩$ 是阿贝尔群，容易证明 $⟨B,\oplus ⟩$ 也是阿贝尔群。
由 $⟨A,\cdot ⟩$ 是半群，容易证明 $⟨B,\odot ⟩$ 也是半群。
对于任意的 $b_1,b_2,b_3\in B$ ，必有相应的 $a_1,a_2,a_3$ ，使得 $f(a_i)=b_i,(i=1,2,3)$ 。
于是， $$\begin{array}{rl}{b}_1\odot (b_2\oplus b_3)& =f(a_1)\odot (f(a_2)\oplus f(a_3))\\ & =f(a_1)\odot f(a_2+a_3)\\ & =f(a_1\cdot (a_2+a_3))\\ & =f((a_1\cdot a_2)+(a_1\cdot a_3))\\ & =f(a_1\cdot a_2)\oplus f(a_1\cdot a_3)\\ & =(f(a_1)\odot f(a_2))\oplus (f(a_1)\odot f(a_3))\\ & =(b_1\odot b_2)\oplus (b_1\odot b_3)\end{array}$$

同理可证 $(b_2\oplus b_3)\odot b_1=(b_2\odot b_1)\oplus (b_2\odot b_1)$
因此， $⟨B,\oplus ,\odot ⟩$ 也是一个环。

第六章 格和布尔代数

6-1 格的概念

定义 6 - 1.1
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个偏序集，如果 $A$ 中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 为格。

定义 6 - 1.2
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，如果在 $A$ 上定义两个二元运算 $\vee$ 和 $\wedge$ ，使得对于任意的 $a,b\in A$ ， $a\vee b$ 等于 $a$ 和 $b$ 的最小上界， $a\wedge b$ 等于 $a$ 和 $b$ 的最大下界，那么，就称 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ 为由格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 所诱导的代数系统。二元运算 $\vee$ 和 $\wedge$ 分别称为并运算和交运算。

定义 6 - 1.3
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，由格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 所诱导的代数系统为 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ ，设 $B\subseteq A$ 且 $B̸=\varnothing$ ，如果 $A$ 中的这两个运算 $\vee$ 和 $\wedge$ 是封闭的，则称 $⟨B,\preccurlyeq ⟩$ 是 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 的子格。

定理 6 - 1.1
在一个格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 中，对任意的 $a,b\in A$ ，都有
（1） $a\preccurlyeq a\vee b$
（2） $b\preccurlyeq a\vee b$
（3） $a\wedge b\preccurlyeq a$
（4） $a\wedge b\preccurlyeq b$

证明：
（由定义易证。）

定理 6 - 1.2
在一个格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 中，对于 $a,b,c,d\in A$ ，若 $a\preccurlyeq b$ ， $c\preccurlyeq d$ ，则 $a\vee c\preccurlyeq b\vee d$ ， $a\wedge c\preccurlyeq b\wedge d$ 。

证明：
$a\preccurlyeq b\preccurlyeq b\vee d,c\preccurlyeq d\preccurlyeq b\vee d$ ，则 $a\vee c\preccurlyeq b\vee d$ 。同理可证 $a\wedge c\preccurlyeq b\wedge d$

定理 6 - 1.3
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，由格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 所诱导的代数系统为 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ ，则对任意的 $a,b,c,d\in A$ ，有
（1） $a\vee b=b\vee a$ （交换律）
（2） $a\vee (b\vee c)=(a\vee b)\vee c$ （结合律）
（3） $a\vee a=a$ （幂等律）
（4） $a\vee (a\wedge b)=a$ （吸收律）
上述式子的对偶式也同样成立。

证明：
（1）略

（2）
$$\begin{array}{rl}& b\preccurlyeq b\vee c\preccurlyeq a\vee (b\vee c)\\ & a\preccurlyeq a\vee (b\vee c)\\ \Rightarrow & (a\vee b)\preccurlyeq a\vee (b\vee c)\end{array}$$又 $$c\preccurlyeq b\vee c\preccurlyeq a\vee (b\vee c)$$ 则 $$(a\vee b)\vee c\preccurlyeq a\vee (b\vee c)$$ 类似可证 $$a\vee (b\vee c)\preccurlyeq (a\vee b)\vee c$$ 因此 $$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$$ 证毕。

（3）
$$\begin{array}{rl}& a\preccurlyeq a\vee a,\\ & a\preccurlyeq a\Rightarrow a\vee a\preccurlyeq a\\ \Rightarrow & a=a\vee a\end{array}$$ 再由对偶原理， $a\wedge a=a$ 。

（4）略

引理 6 - 1.1
设 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ 是一个代数系统，其中 $\vee ,\wedge$ 都是二元运算且满足吸收性，则 $\vee$ 和 $\wedge$ 都满足幂等性。

证明：
由吸收性，有 $$a\vee (a\wedge b)=a$$ 和 $$a\wedge (a\vee b)$$ 取(1)式中 $b$ 为 $a\vee b$ 得 $$a\vee (a\wedge (a\vee b))=a$$ 再由(2)式得 $$a\vee a=a$$ 同理可证 $$a\wedge a=a$$

定理 6 - 1.4
设 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ 是一个代数系统，其中 $\vee$ ,$\wedge$ 都是二元运算且满足交换性、结合性和吸收性，则 $A$ 上存在偏序关系 $\preccurlyeq$ ，使 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格。

定理 6 - 1.5
在一个格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 中，对任意的 $a,b,c\in A$ ，都有 $$a\vee (b\wedge c)\preccurlyeq (a\vee b)\wedge (a\vee c)$$ 和 $$(a\wedge b)\vee (a\wedge c)\preccurlyeq a\wedge (b\vee c)$$

定理 6 - 1.6
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，那么，对于任意的 $a,b\in A$ ，有 $$a\preccurlyeq b\iff a\wedge b=a\iff a\vee b=b$$

定理 6 - 1.7
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，那么，对于任意的 $a,b\in A$ ，有 $$a\preccurlyeq c\iff a\vee (b\wedge c)\preccurlyeq (a\vee b)\wedge c$$

定义 6 - 1.4
设 $⟨A_1,{\preccurlyeq }_1⟩$ 和 $⟨A_2,{\preccurlyeq }_2⟩$ 是两个格，由它们分别诱导的代数系统为 $⟨A_1,{\vee }_1,{\wedge }_1⟩$ 和 $⟨A_2,{\vee }_2,{\wedge }_2⟩$ ，如果存在着一个从 $A_1$ 到 $A_2$ 的映射 $f$ ，使得对于任意的 $a,b\in A_1$ 有 $$f(a{\vee }_{1}b)=f(a){\vee }_{2}f(b)$$ $$f(a{\wedge }_{1}b)=f(a){\wedge }_{2}f(b)$$ 则称 $f$ 为从 $⟨A_1,{\vee }_1,{\wedge }_1⟩$ 到 $⟨A_2,{\vee }_2,{\wedge }_2⟩$ 的格同态象。此外，当 $f$ 是双射时，则称 $f$ 为从 $⟨A_1,{\vee }_1,{\wedge }_1⟩$ 到 $⟨A_2,{\vee }_2,{\wedge }_2⟩$ 的格同构，亦称 $⟨A_1,{\preccurlyeq }_1⟩$ 和 $⟨A_2,{\preccurlyeq }_2⟩$ 这两个格是同构的。

定理 6 - 1.8
设 $f$ 是格 $⟨A_1,{\preccurlyeq }_1⟩$ 到 $⟨A_2,{\preccurlyeq }_2⟩$ 的格同态，则对任意的 $x,y\in A_1$ ，如果 $x{\preccurlyeq }_{1}y$ ，必有 $f(x){\preccurlyeq }_{2}f(y)$ 。

定理 6 - 1.9
设 $⟨A_1,{\preccurlyeq }_1⟩$ 和 $⟨A_2,{\preccurlyeq }_2⟩$ 是两个格， $f$ 是从 $A_1$ 到 $A_2$ 的双射，则 $f$ 是 $⟨A_1,{\preccurlyeq }_1⟩$ 到 $⟨A_2,{\preccurlyeq }_2⟩$ 的格同构，当且仅当对任意的 $a,b\in A$ ， $a{\preccurlyeq }_{1}b\iff f(a){\preccurlyeq }_{2}f(b)$ 。

6-2 分配格

定义 6 - 2.1
设 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ 是由格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 所诱导的代数系统。如果 $\wedge$ 运算和 $\vee$ 运算在 $A$ 上互相可分配，则称 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 为分配格。

定理 6 - 2.1
如果在一个格中 $\wedge$ 运算对于 $\vee$ 运算是可分配的，则 $\vee$ 运算对于 $\wedge$ 运算也是可分配的。反之亦然。

定理 6 - 2.2
每个链一定是分配格。

定理 6 - 2.3
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个分配格，那么，对于任意的 $a,b,c\in A$ ，如果有 $a\wedge b=a\wedge c$ 和 $a\vee b=a\vee c$ 成立，则必有 $b=c$ 。

定义 6 - 2.2
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，由它所诱导的代数系统为 $⟨A,\vee ,\wedge ⟩$ ，如果对于任意的 $a,b,c\in A$ ，当 $b\preccurlyeq a$ 时，有 $$a\wedge (b\vee c)=b\vee (a\wedge c)$$ 则称 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是模格。

定理 6 - 2.4
格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是模格，当且仅当在 $A$ 中不含有适合下述条件的元素 $u,v,w$
（1） $v\prec u$
（2） $u\vee w=v\vee w,u\wedge w=v\wedge w$

定理 6 - 2.5
在一般的格中，对于任意的 $a,b,c$ ，有以下三个式子成立：
（1） $a\vee (b\wedge c)\preccurlyeq (a\vee b)\wedge (a\vee c)$
（2） $(a\wedge b)\vee (a\wedge c)\preccurlyeq a\wedge (b\vee c)$
（3） $(a\wedge b)\vee (b\wedge c)\vee (c\wedge a)\preccurlyeq (a\vee b)\wedge (b\vee c)\wedge (c\vee a)$
对于模格，若有三个元素 $a,b,c$ ，使得上述三个式子的任何一个式子把 $\preccurlyeq$ 换成 $=$ 成立，则另外两个式子中把 $\preccurlyeq$ 换成 $=$ 也必成立。

定理 6 - 2.6
分配格必定是模格。

6-3 有补格

定义 6 - 3.1
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，如果存在元素 $a\in A$ ，对于任意的 $x\in A$ ，都有 $$a\preccurlyeq x$$ 则称 $a$ 为格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 的全下界，记格的全下界为 $0$ 。

定理 6 - 3.1
一个格若有全下界，则是唯一的。

定义 6 - 3.2
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，如果存在元素 $b\in A$ ，对于任意的 $x\in A$ ，都有 $$x\preccurlyeq b$$ 则称 $b$ 为格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 的全上界，记格的全上界为 $1$ 。

定理 6 - 3.2
一个格若有全上界，则是唯一的。

定义 6 - 3.3
如果一个格中存在全下界和全上界，则称该格为有界格。

定理 6 - 3.3
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个有界格，则对任意的 $a\in A$ ，必有
（1） $a\vee 1=1,a\wedge 1=a$
（2） $a\vee 0=a,a\wedge 0=0$

定义 6 - 3.4
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个有界格，对于 $A$ 中的一个元素 $a$ ，如果存在 $b\in A$ ，使得 $a\vee b=1$ 和 $a\wedge b=0$ ，则称元素 $b$ 是元素 $a$ 的补元。

定义 6 - 3.5
在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补元素，则称此格为有补格。

定理 6 - 3.4
在有界分配格中，若有一个元素有补元素，则必是唯一的。

证明：
设 $a$ 有两个补元素 $b$ 和 $c$ ，即有 $$a\vee b=1,a\wedge b=0$$ $$a\vee c=1,a\wedge c=0$$ 由定理 6 - 2.3即得 $b=c$ 。

定义 6 - 3.6
一个格如果它既是有补格，又是分配格，则称它为有补分配格。我们把有补分配格中任一元素 $a$ 的唯一补元记为 $\bar{a}$ 。

6-4 布尔代数

定义 6 - 4.1
一个有补分配格称为布尔格。

定义 6 - 4.2
由布尔格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ ，可以诱导一个代数系统 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ ，这个代数系统称为布尔代数。

定理 6 - 4.1
对于布尔代数中任意两个元素 $a,b$ ，必定有 $$\overline{(\bar{a})}=a$$ $$\overline{a\vee b}=\bar{a}\wedge \bar{b}$$ $$\overline{a\wedge b}=\bar{a}\vee \bar{b}$$

定义 6 - 4.3
具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。

定义 6 - 4.4
设 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 和 $⟨B,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 是两个布尔代数，如果存在着 $A$ 到 $B$ 的双射 $f$ ，对于任意的 $a,b\in A$ ，都有 $$f(a\vee b)=f(a)\vee f(b)$$ $$f(a\wedge b)=f(a)\wedge f(b)$$ $$f(\bar{a})=\overline{f(a)}$$ 则称 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 和 $⟨B,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 同构。

定义 6 - 4.5
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个格，且具有全下界 $0$ ，如果有元素 $a$ 盖住 $0$ ，则称元素 $a$ 为原子。

定理 6 - 4.2
设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个具有全下界 $0$ 的有限格，则对于任何一个非零元素 $b$ （即不等于全下界 $0$ 的元素）至少存在一个原子 $a$ ，使得 $a\preccurlyeq b$ 。

引理 6 - 4.1
在一个布尔格中， $b\wedge \bar{c}=0$ 当且仅当 $b\preccurlyeq c$ 。

引理 6 - 4.2
设 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 是一个有限布尔代数，若 $b$ 是 $A$ 中任意非零元素， $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 是 $A$ 中满足 $a_j\preccurlyeq b$ 的所有原子（ $j=1,2,\cdots ,k$ ），则 $b=a_1\vee a_2\vee \cdots \vee a_k$ 。

引理 6 - 4.3
设 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 是一个有限布尔代数， $b\in A$ ，且 $b̸=0$ ， $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 是满足 $a_i\preccurlyeq b$ （ $i=1,2,\cdots ,k$ ）的 $A$ 中的所有原子，则 $b=a_1\vee a_2\vee \cdots \vee a_k$ 是将 $b$ 表示为原子的并的唯一形式。

引理 6 - 4.4
在一个布尔格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 中，对 $A$ 中的任意一个原子 $a$ 和另一个非零元素 $b$ ， $a\preccurlyeq b$ 和 $a\preccurlyeq \bar{b}$ 两式中有且仅有一式成立。

定理 6 - 4.3（Stone 表示定理）
设 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 是由有限布尔格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 所诱导的一个有限布尔代数， $S$ 是布尔格 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 中的所有原子的集合，则 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 和 $⟨\mathcal{P}(S),\cup ,\cap ,\sim ⟩$ 同构。

6-5 布尔表达式

定义 6 - 5.1
设 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 是一个布尔代数，并在这个布尔代数上定义布尔表达式如下：
（1） $A$ 中任何元素是一个布尔表达式。
（2）任何变元是一个布尔表达式。
（3）如果 $e_1$ 和 $e_2$ 是布尔表达式，那么， ${\bar{e}}_1,(e_1\vee e_2)$ 和 $(e_1\wedge e_2)$ 也都是布尔表达式。

定义 6 - 5.2
一个含有 $n$ 个相异变元的布尔表达式，称为含有 $n$ 元的布尔表达式。记为 $E(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ ，其中 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为变元。

定义 6 - 5.3
布尔代数 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 上的一个含有 $n$ 元的布尔表达式 $E(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的值是指：将 $A$ 中的元素作为变元 $x_i$ （ $i=1,2,\cdots ,n$ ）的值来代替表达式中相应的变元（即对变元赋值），从而计算出表达式的值。

定义 6 - 5.4
设布尔代数 $⟨A,\vee ,\wedge ,\stackrel{ˉ}{}⟩$ 上两个 $n$ 元的布尔表达式为 $E_1(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 和 $E_2(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ ，如果对于 $n$ 个变元的任意赋值 $x_i=x_i$ ， $x_i\in A$ 时，均有 $$E_1(x_1,x_2\cdots ,x_n)=E_2(x_1,x_2\cdots ,x_n)$$ 则称这两个布尔表达式是等价的，记作 $E_1(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=E_2(x_1,x_2,$