【扩展欧拉定理-降幂大法】Balkan OI 2016[数塔]题解

题目概述

求 xx⋮xn21 mod p x 1 x 2 ⋮ x n   m o d   p 。

解题报告

欧拉定理： aφ(p)≡1(mod p)⇔ab≡ab mod φ(p)(mod p) a φ ( p ) ≡ 1 ( m o d   p ) ⇔ a b ≡ a b   m o d   φ ( p ) ( m o d   p ) ，可以用来降幂，但是只适用于 gcd(a,p)=1 g c d ( a , p ) = 1 。

实际上有扩展欧拉定理：

• gcd(a,p)=1 g c d ( a , p ) = 1 ： ab≡ab mod φ(p)(mod p) a b ≡ a b   m o d   φ ( p ) ( m o d   p )
• gcd(a,p)>1 g c d ( a , p ) > 1
  
  • b<φ(p) b < φ ( p ) ： ab≡ab(mod p) a b ≡ a b ( m o d   p )
  • b≥φ(p) b ≥ φ ( p ) ： ab≡ab mod φ(p)+φ(p)(mod p) a b ≡ a b   m o d   φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d   p )

2018.7.1UPD:之前写成 b<p b < p 和 b≥p b ≥ p 了……很抱歉误导了读者老爷们Orz……

证明？我不会啊！然后就可以实现降幂了，这道题直接暴搞就行了QAQ。

示例程序

#include
#include
#include
#define fr first
#define sc second
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;typedef pair<int,bool> data;
const int maxn=1000000,maxm=1000000;

int te,m,n,x[maxn+5];
int p[maxm+5],phi[maxm+5];bool pri[maxm+5];

#define Eoln(x) ((x)==10||(x)==13||(x)==EOF)
inline char readc()
{
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF;return *l++;
}
inline int readi(int &x)
{
    int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';
    while (!isdigit(ch)) {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}
    if (lst=='-') f=-f;
    while (isdigit(ch)) tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();
    return x=tot*f,Eoln(ch);
}
void Make()
{
    pri[1]=true;phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=m;i++)
    {
        if (!pri[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1,t;j<=p[0]&&(t=p[j]*i)<=m;j++)
        {
            if (i%p[j]) phi[t]=phi[i]*phi[p[j]],pri[t]=true; else
            {phi[t]=phi[i]*p[j];pri[t]=true;break;}
        }
    }
}
int gcd(int a,int b) {if (!b) return a;return gcd(b,a%b);}
inline data Pow(LL w,int b,int MOD)
{
    LL s=1;bool fl=true;
    while (b)
    {
        if (b&1) {if ((s*=w)>=MOD) fl=false;s%=MOD;}
        b>>=1;if (b) {if ((w*=w)>=MOD) fl=false;w%=MOD;}
    }
    return mp(s,fl);
}
data Solve(int st,int MOD)
{
    if (MOD==1) return mp(0,false);if (st==n) return mp(x[st]%MOD,x[st]1,phi[MOD]);if (gcd(x[st],MOD)==1) return Pow(x[st],b.fr,MOD);
    if (!b.sc) b.fr+=phi[MOD];return Pow(x[st],b.fr,MOD);
}
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    readi(te);readi(m);Make();
    while (te--)
    {
        readi(n);for (int i=1;i<=n;i++) readi(x[i]);
        printf("%d\n",Solve(1,m).fr);
    }
    return 0;
}