矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

1. 设矩阵 A A 是 n n 阶方阵，如果存在数 λ λ 和非零向量 x x ，使得
   Ax=λx，(1) (1) A x = λ x ，
   则称 λ λ 为矩阵 A A 的特征值，称 x x 为矩阵 A A 对应特征值 λ λ 的一个特征向量.式（1）可写成
   （A−λE）x=0，(2) (2) （ A − λ E ） x = 0 ，
   上式说明齐次线性方程组（2）有非零解 x x ，由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，得 |A−λE|=0 | A − λ E | = 0 ，即
   |A−λE|=∣∣∣∣∣∣∣a11−λa21...an1a12a22−λ...an2.........a1na2n...ann−λ∣∣∣∣∣∣∣=0.(3) (3) | A − λ E | = | a 11 − λ a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 − λ . . . a 2 n . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n − λ | = 0 .
   记 f(λ)=|A−λE|，f(λ) f ( λ ) = | A − λ E | ， f ( λ ) 是关于 λ λ 的一个 n n 次多项式，称 f(λ) f ( λ ) 为矩阵 A A 的特征多项式.特征多项式 f(λ) f ( λ ) 的根就是矩阵 A A 的特征值.
   在复数范围内， n n 次多项式有 n n 个根（重根按重数计算）.设 λ1,λ2,...,λn λ 1 , λ 2 , . . . , λ n 是 n n 阶方阵 A A 的 n n 个特征值（重根按重数计算），利用根与系数之间的关系，有
   
   1. λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann λ 1 + λ 2 + . . . + λ n = a 11 + a 22 + . . . + a n n ；
   2. λ1⋅λ2⋅...⋅λn=|A| λ 1 ⋅ λ 2 ⋅ . . . ⋅ λ n = | A |
      设 λ0 λ 0 是 n n 阶方阵 A A 的一个特征值，则 |A−λ0E|=0 | A − λ 0 E | = 0 ，从而齐次线性方程组 (A−λ0E)x=0 ( A − λ 0 E ) x = 0 有非零解，其非零解就是矩阵 A A 对应特征值 λ0 λ 0 的特征向量，所有非零解即为矩阵 A A 对应于特征值 λ0 λ 0 的全部特征向量
2. n n 阶矩阵 A A 与它的转置矩阵 AT A T 具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值.事实上，
   |AT−λE|=|(A−λE)T|=|A−λE|. | A T − λ E | = | ( A − λ E ) T | = | A − λ E | .
3. 设 λ λ 是 n n 阶矩阵 A A 的特征值，则
   
   1. λ2 λ 2 是 A2 A 2 的特征值；
   2. 当 A A 可逆时， 1λ 1 λ 是 A−1 A − 1 的特征值
4. 设 λ1,λ2,...,λm λ 1 , λ 2 , . . . , λ m 是 n n 阶矩阵 A A 的 m m 个互不相等的特征值，其对应的特征向量分别为 p1,p2,...,pm p 1 , p 2 , . . . , p m ，则 p1,p2,...,pm p 1 , p 2 , . . . , p m 线性无关

相似矩阵

1. 设矩阵 A,B A , B 都是 n n 阶方阵，如果存在可逆矩阵 P P ，使 P−1AP=B P − 1 A P = B ，则称矩阵 A，B A ， B 相似.称变换 P−1AP P − 1 A P 为相似变换
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值
3. 如果矩阵 A A 与对角矩阵
   Λ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ2...λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟ Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n )
   相似，则 λ1,λ2...,λn λ 1 , λ 2 . . . , λ n 就是矩阵 A A 的特征值
4. 如果 n n 阶矩阵 A A 与对角矩阵 Λ Λ 相似，则称矩阵 A A 可相似对角化（简称为可对角化）
5. n n 阶矩阵 A A 与对角矩阵 Λ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ2...λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟ Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) 相似的充分必要条件是矩阵 A A 有 n n 个线性无关的特征向量
6. n n 阶矩阵 A A 与对角矩阵 Λ Λ 相似的充分必要条件是矩阵 A A 的特征值的重数等于其对应的线性无关的特征向量的个数

实对称矩阵的对角化

向量的内积

1. 设有 n n 维向量
   x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，y=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2...yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟， x = ( x 1 x 2 . . . x n ) ， y = ( y 1 y 2 . . . y n ) ，
   称 x1y1+x2y2+...+xnyn x 1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n 为向量 x x 与 y y 的内积，记为 [x,y] [ x , y ] ，即
   [x,y]=xTy=x1y1+x2y2+...+xnyn [ x , y ] = x T y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n
2. 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数.内积满足以下性质：
   
   1. [x,y]=[y,x]； [ x , y ] = [ y , x ] ；
   2. [λx,y]=λ[x,y]； [ λ x , y ] = λ [ x , y ] ；
   3. [x+y,z]=[x,z]+[y,z]； [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] ；
   4. [x,x]≥0 [ x , x ] ≥ 0 ，当且仅当 x=0 x = 0 时， [x,x]=0. [ x , x ] = 0.
      其中， x,y,z x , y , z 都为 n n 维向量， λ∈R. λ ∈ R .
3. 设 x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∈Rn x = ( x 1 x 2 . . . x n ) ∈ R n ，称 [x,x]‾‾‾‾‾√=x21+x22+...+x2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ [ x , x ] = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 为向量 x x 的长度（或范数），记为 ||x|| | | x | | ，即 ||x||=[x,x]‾‾‾‾‾√=x21+x22+...+x2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ | | x | | = [ x , x ] = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2
4. 向量的范数具有以下性质：
   
   1. 非负性： ||x||≥0 | | x | | ≥ 0 ，当且仅当 x=0 x = 0 时， ||x||=0 | | x | | = 0 ；
   2. 齐次性： ||λx||=|λ|⋅||x|| | | λ x | | = | λ | ⋅ | | x | | ；
   3. 三角不等式： ||x+y||≤||x||+||y|| | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | ；
   4. 对任意 n n 维向量 x,y x , y ，有 |[x,y]|≤||x||⋅||y|| | [ x , y ] | ≤ | | x | | ⋅ | | y | | .
5. 若令 x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，y=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2...yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟， x = ( x 1 x 2 . . . x n ) ， y = ( y 1 y 2 . . . y n ) ， 则上述性质（4）可表示为：
   |∑i=1|nxiyi≤∑i=1nx2i‾‾‾‾‾‾⎷⋅∑i=1ny2i‾‾‾‾‾‾⎷. | ∑ i = 1 | n x i y i ≤ ∑ i = 1 n x i 2 ⋅ ∑ i = 1 n y i 2 .
   上述不等式称为施瓦茨不等式
   当 ||x||=1 | | x | | = 1 时，称 x x 为单位向量，
   当 x≠0,y≠0 x ≠ 0 , y ≠ 0 时，由施瓦茨不等式，有
   |[x,y]||x||⋅||y|||≤1， | [ x , y ] | | x | | ⋅ | | y | | | ≤ 1 ，
   称 θ θ 为 n n 维向量 x x 与 y y 的夹角
   当 [x,y]=0 [ x , y ] = 0 时，称向量 x x 与 y y 正交.显然，若 x=0 x = 0 ，则 x x 与任何向量都正交.
6. 若 n n 维向量 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 是一组两两正交的非零向量，则 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 线性无关
7. 设 n n 维向量 e1,e2,...,er e 1 , e 2 , . . . , e r 是向量空间 V(V⊂Rn) V ( V ⊂ R n ) 的一个基，如果 e1,e2,...,er e 1 , e 2 , . . . , e r 两两正交，且为单位向量，则称 e1,e2,...,er e 1 , e 2 , . . . , e r 为向量空间 V V 的一个规范正交基（或标准正交基）
8. 设 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 是向量空间 V V 的一个基，为了得到与 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 等价的一个规范正交基 e1,e2,...,er e 1 , e 2 , . . . , e r .这一过程，称为把基
   α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r
   规范正交化，可按如下两个步骤进行：
   
   1. 正交化：令
      β1=α1 β 1 = α 1 ;
      β2=α−[β1,α2][β1,β1]β1 β 2 = α − [ β 1 , α 2 ] [ β 1 , β 1 ] β 1 ；
      ……
      βr=αr−[β1,αr][β1,β1]β1−[β2,αr][β2,β2]β2−...−−[βr−1,αr][βr−1,βr−1]βr−1. β r = α r − [ β 1 , α r ] [ β 1 , β 1 ] β 1 − [ β 2 , α r ] [ β 2 , β 2 ] β 2 − . . . − − [ β r − 1 , α r ] [ β r − 1 , β r − 1 ] β r − 1 . 容易验证 β1,β2,...,βr β 1 , β 2 , . . . , β r 两两正交，且 β1,β2,...,βr β 1 , β 2 , . . . , β r 与 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 等价.上述过程也称为施密特正交化
   2. 单位化：令
      e1=1||β1||β1，e2=1||β2||β2，...，er=1||βr||βr， e 1 = 1 | | β 1 | | β 1 ， e 2 = 1 | | β 2 | | β 2 ， . . . ， e r = 1 | | β r | | β r ，
      则 e1,e2,...,er e 1 , e 2 , . . . , e r 是向量空间 V V 的一个规范正交基
9. 如果 n n 阶矩阵 A A 满足
   ATA=E，即A−1=AT， A T A = E ， 即 A − 1 = A T ，
   则称矩阵 A A 为正交矩阵，简称正交阵
10. 正交矩阵具有以下性质：
    
    1. 如果矩阵 A A 是正交矩阵，则 |A|=1 | A | = 1 或 (−1) ( − 1 ) ；
    2. 如果矩阵 A，B A ， B 都是正交矩阵，则 AB A B 也是正交矩阵
11. n n 阶矩阵 A A 为正交矩阵的充分必要条件是 A A 的列向量组是两两正交的单位向量组.

实对称矩阵的对角化

1. 实对称矩阵的特征值一定是实数
2. 设 λ1，λ2 λ 1 ， λ 2 是实对称矩阵 A A 的两个不相等的特征值，其对应的特征向量分别为 p1,p2 p 1 , p 2 ，则 p1 p 1 与 p2 p 2 正交
3. 设 A A 为 n n 阶实对称矩阵， λ λ 是 A A 的特征方程的 k k 重根，则矩阵 A−λE A − λ E 的秩 R(A−λE)=n−k R ( A − λ E ) = n − k ，从而对应特征值 λ λ 恰有 k k 个线性无关的特征向量
4. 设 A A 为 n n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 P P ，使 P−1AP=PTAP=Λ P − 1 A P = P T A P = Λ .其中 Λ Λ 是以 A A 的 n n 个特征值为对角元素的对角矩阵.
5. 将一个 n n 阶实对称矩阵 A A 对角化的步骤为：
   
   1. 求出 A A 的全部互不相等的特征值 λ1,λ2,...,λs λ 1 , λ 2 , . . . , λ s ，它们的重数分别 k1,k2,...,ks(k1+k2+...+ks=n) k 1 , k 2 , . . . , k s ( k 1 + k 2 + . . . + k s = n ) ；
   2. 对每个 ki k i 重特征值 λi λ i ，由 (A−λiE)x=0 ( A − λ i E ) x = 0 求出基础解系，得 ki k i 个线性无关的特征向量，把它们正交化、单位化，便得 n n 个两两正交的单位特征向量 p1,p2,...,pn p 1 , p 2 , . . . , p n ；
   3. 令 P=(p1,p2,...,pn) P = ( p 1 , p 2 , . . . , p n ) ，便有 P−1AP=PTAP=Λ P − 1 A P = P T A P = Λ