BZOJ 1045 HAOI 2008 糖果传递 数学推导

好像Chrome支持MathJax有点问题。。Microsoft Edge一点事没有。。
因为一个一个小朋友传递，所以只用考虑两相邻两个小朋友间的关系。
令 xi 表示小朋友 i−1 给 i 的糖果数， v=1n∑ai ，那么显然有：

ans=∑|xi|

而且对于每个小朋友有：

v=ai+xi−xi+1

因此

xi+1=xi+ai−v

因此， {xi} 之间存在一个关系，使得某个 xi 定下来了以后，其他 xj 都确定了，因而答案 ans 也确定了。
假设我们固定 x1 ，那么对于其他数字，如

x2x3=x1+a1−v=x2+a2−v=x1+a1−v+a2−v⋯

我们设 c0=0,ci=ci−1−ai+v ，那么有

xi=x1−ci

答案有

ans=|x1−c0|+|x1−c1|+|x1−c2|+⋯+|x1−cn−1|

发现这个式子表示的就是 x1 在数轴上与 ci 的距离和，要使距离和最小，就要使 x1=ci 的中位数，问题就解决了。

发的时候用I64d跪了。。。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define FOR(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
const int N = 10000005;

ll read() {
    ll s = 0, f = 1; char ch = getchar();
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
    for (; '0' <= ch && ch <= '9'; ch = getchar()) s = s * 10 + ch - '0';
    return s * f;
}

int main() {
    static int a[N], s[N];
    ll n = read(), i, x, tot = 0, avg, mid, ans;
    s[0] = 0;
    FOR(i,1,n) a[i] = read(), tot += a[i];
    avg = tot / n;
    FOR(i,1,n-1) s[i] = s[i - 1] + a[i] - avg;
    sort(s + 1, s + n);
    mid = s[n / 2];
    ans = abs(mid);
    FOR(i,1,n-1) ans += abs(s[i] - mid);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

1045: [HAOI2008] 糖果传递

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Description

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

小朋友个数n 下面n行 ai

Output

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

HINT

100% n<=987654321