我的题解(3)-求最小循环节(KMP,POJ2406)
KMP(烤馍片)算法想必大家都会吧，这次让我们来做一道题——求最小循环节。
先上题，题目大意是这样的（我对原题进行了一些改动）：给你一个字符串s(|s|≤1,000,000)，求其最小循环节。最小循环节指有一s的子串a，s=aaa...a，也就是共n个a可顺序拼成原串s（原题是说s=a^n）。
样例：
1.abcd 最小循环节为其本身
2.aaaa 最小循环节为a
3.ababab 最小循环节为ab
很多大佬会说：这不是弱智题吗？那你就错了，请看我慢慢道来。
首先看到这道题，第一反应应该就是哈希(划掉)KMP，我们对它进行一个变形。
从哪里入手呢？想想next数组？
首先，我们看看next数组的定义
next[i]=max{k
通俗地讲，next[i]表示s的前i个字符构成的子串t中t的前缀与后缀相等的最长长度。
这个大家都懂的吧，如果还不知道KMP，那么先学学吧。
看了这个，大家是否有什么感觉了呢？next...相等...前缀与后缀...循环节！只有前缀与后缀相等，这个前缀(或后缀)才有可能是循环节！
不错，其实我们根本就不用考虑KMP的匹配，用next数组就可以求出答案。
讲到这里，一般的解题博客就开始贴代码了，emmm...要不我也贴个代码？
#include
#include
#include
using namespace std;
char s[1000001];
int Next[1000001],lens,nextN;
void getNext(){
int k=0;
Next[1]=0;
for(int i=2;i<=lens;i++){
while(k&&s[k+1]!=s[i]) k=Next[k];
if(s[k+1]==s[i]) k++;
Next[i]=k;
}
}
int main(){
while(1){
scanf("%s",s+1);
if(s[1]=='.') return 0;
lens=strlen(s+1);
memset(Next,0,sizeof(Next));
getNext(),nextN=lens-Next[lens];
if(lens%nextN==0) printf("%d\n",lens/nextN);else
printf("1\n");
}
return 0;
} （注：原题代码）
（前方高能）
求next数组大家一定很清楚，但是
if(lens%nextN==0) printf("%d\n",lens/nextN);else
printf("1\n");
嗯，这就是这道题的难点！
我们来理解一下。为了方便，我们令|s|=n。
这两行代码的意思是，若n-next[n]可以整除n，则next[n]为最小循环节，否则整个串就是最小循环节。
看到这里，如果你想问"为什么"或你只有一个草率的理由，你就是不懂这道题！
证明！！！
为了方便，我们不妨令nextN=n-next[n].
我们要证明的命题有：
1.当nextN|n时，nextN是一个循环节的长度；
2.当nextN|n时，没有比nextN更小的循环节长度；
3.当nextN不整除n时，不存在比nextN更大的循环节长度（原串除外）。
我们先证第一个。
根据next的定义，s的前next[n]个和后next[n]个是相等的，也就是s[1..next[n]]=s[nextN+1..n]。
我们取next[n]的前nextN个字符。
根据这些前提，可以推出s[1..nextN]=s[nextN+1..2nextN],s[n-2nextN+1..n-nextN]=s[n-Next[n]..n]。
正是因为这个，我们可以将s设为xx...yy(注:中间一段是不确定的)。
我们继续取第二段长度为nextN的。
可以推出s[nextN+1..2nextN]=s[2nextN+1..3nextN],s[n-3nextN+1..n-2nextN]=s[n-2nextN+1..n-nextN]。
我们将前面的等式连等起来，可以将s进一步设为xxx...yyy(注:中间一段是不确定的)。
像这样一直推下去，直到去next[n]的最后nextN个字符。
s[n-2nextN+1..n-nextN]=s[n-Next[n]..n],s[1..nextN]=s[nextN+1..2nextN]。
到这里，我们就完整地得到——x=y！
(注：其实当x与y交叉时，就可以推出；特殊情况：当n为偶数且nextN=n/2时，显然推出nextN是循环节长度。)
我们想想，能推出这样的结论的前提是什么？对，是nextN|n。
只有nextN|n时，才能根据上述方法推到最后，不然，字符会错位哦~就不相等了！
我们——终于——证完了——第一个命题- -(如果看不懂，自己举个栗子吧，如ababababab)
第二个命题略简单哦~
开始证第二个，用反证。
若存在一个比nextN更小的循环节长度p，则我们可列出一不等式：
nextN>p⇒n-next[n]>p⇒n-p>next[n]
∵p是循环节，∴n-p可以是next[n]的更大长度。这时就与next的定义-最大矛盾了！
所以next[n]必须是最大的，也就是nextN必须是最小的循环节长度。
我们开始证第三个命题。
首先，我们需要找到所有可能为s的循环节的子串长度。
令集合X={next[n],next[next[n]],...,0},则根据next的定义，只有n-X[i](1≤i≤|X|)才有可能为循环节的长度。
好，根据假设，(n-X[1])不整除n,也就是nextN不是可行的循环节。
我们这次使用数学归纳法来证明——除了n本身，其他的长度都不可行。
我们取b=n-X[i],a=n-X[i+1],b
首先，i以及i之前的长度都是不可行的，我们就先取出i吧，也就是b不整除n。
假设a|n,那么我们可以类似地使用命题(1)，证出a也是一个可行的循环节长度。
则显然,a-b也是一个可行的循环节长度;接着,若a-b
这样以此类推，我们最后发现这是求最大公因数的更相减损法！(若不了解更相减损法，就先去学学吧)
最终，我们得到gcd(a,b)为循环节长度，因为gcd(a,b)≤b
但是gcd(a,b)≤b啊！假设里不是说“i以及i之前的长度都是不可行的”吗？
所以，我们找到了一个更小的循环节长度，与假设出现矛盾！
这时，我们就得出a不能整除n了。根据此方法类推，我们一直推到X的最后一个元素——0.
由于n-0=n,而n绝对是s的循环节长度（n就是s本身的长度，只需1个循环节便可以表示出整个字符串）
所以，当nextN不整除n时，最小循环节就是n。
证完这三个命题，我们才算完成了这道题目！
根据原题意(POJ2406)，我们要算出最小循环节的个数，那么用最小循环节的长度去除一下n即可。
在简单的两行代码
if(lens%nextN==0) printf("%d\n",lens/nextN);else
printf("1\n");
中，奥秘无穷！
结语：这就是编程，真正的大佬是对每一步都精打细算的！
emmmm...然而我只是个蒟蒻，希望大家多多指出错误哦~