时间复杂度-----最大区间和

题目大意:在一维数组的连续区间找出其总和最大的连续区间。

题目不难，但是很有启迪的一道题目。

一个了解时间复杂度题目，用几种不同的时间复杂度实现，直观的感受下几者的速度与效率。

设计一个算法时要尽量做到高效。高效之处，就是智慧之处。

先看看O(N³)的算法：
//方法MaxSum1,MaxSum2都是对数组的所有区间进行遍历求和，得出最大值

    //求A[]中连续区间的最大和。O(N3) 
    int MaxSum1(const int A[],int len){
    int ret = INT_MIN;

    for(int i=0 ; ifor(int j=i ; jint sum = 0;
            //求区间A[i<-->j]的和        
            for(int k=i ; k<=j ; ++k){
                sum+=A[k];
            }

            ret = max(ret,sum);
        }
    } 
    return ret;
    }

    //求A[]中连续区间的最大和。O(N2) 
    int MaxSum2(const int A[],int len){
    int ret = INT_MIN;

    for(int i=0 ; iint sum = 0;
        for(int j=i ; jsum += A[j];    
            ret = max(ret,sum);
        }
    } 
    return ret;
    }



    //分治法:将数组平分为左右两个数组，则最大和区间定位于二者之一，
    //或横跨两个数组，此时则可用递归或贪心来得出答案 

    //求A[]中连续区间的最大和。O(NlogN) 
    int MaxSum3(const int A[],int left,int right){
    //区间的长度为1时，终止 
    if(left == right){
        return A[left];
    }
    //将数组平分 
    int mid = (left+right)/2;
    //情况1:求出横跨两个数组的最大值(一部分在左边一部分在右边) 
    int leftSum = INT_MIN;
    int rightSum = INT_MIN;

    for(int i=mid,sum=0 ; i>=left ; --i){
        sum += A[i];    
        leftSum = max(leftSum,sum);
    } 
    for(int i=mid+1,sum=0 ; i<=right ; ++i){
        sum += A[i];    
        rightSum = max(rightSum,sum);
    } 
    //情况2:最大值位于一方递归调用
    int single = max(MaxSum3(A,left,mid),MaxSum3(A,mid+1,right)); 

    //返回两种情况的最大值    
    return max(single,leftSum+rightSum);
    }



    //动态规划法
    //到A[0]~A[i]的最大值，只能是A[i]本身,或到0~A[i-1]的最大值+A[i],
    //所以结束与A[i]的最大值可表示为maxAt(i)=max(A[i],maxAt(i-1)+A[i])
    //所以可以采用循环动态规划来实现这个状态转移方程，每步更新这个临时的最大值sum 
    //求A[]中连续区间的最大和。O(N)
    int MaxSum4(const int A[],int len){
    int ret = INT_MIN,sum=0;
    for(int i=0 ; isum = max(sum+A[i],A[i]);
        ret = max(ret,sum);
    }
    return ret;
}

不同的时间复杂度，在处理数据大小时有天差地别，随机生成N个整数
看下几种情况下运行时间:

处理数据为10 —>好像看不出什么差别

处理数据为100 —>好像也看不出什么差别

处理数据为1000 —>O(N^3)败下阵来，差别已经出来了，我们再继续试试

处理数据为10000 —>差距已经拉开了，O(N^3)已经阵亡了

处理数据为100000 —>O(N)依旧不动，NlogN都超过1s了

以上的测试并不完全准确，跟平台机器性能有关，但至少能反映出不同时间复杂度下的处理数据的速度与大小。
综上，在编写算法时，要尽可能的优化它，想方设法完善它。多掌握一些优化技巧，可能会起到事半功倍的效果。