[HAOI2008]糖果传递（洛谷P2512）

【题目描述】

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

【数据范围】

n<=1e6

【分析】

一道看上去很难，分析起来很烦，写起来很水的省选题。

首先可以算出每个人最后的糖果数是总数的平均数，设为ave。

设表示第i个人给第i-1个人的糖果数，而表示第1个人给第n个人的糖果数（若<0就是第i-1个人给第i个人的糖果数），则最后的答案就是。

考虑第1个人，他本来有个糖，给了第n个人个，又由第2个人给了他个，那么他最后的糖果总数就是个。同理对于第2个人，他最后的糖果总数就是个，对于第i个人，他最后的糖果总数就是个。特别的，第n个人最后糖果总数是个。

另一方面有这n个人最后的糖果总数都是ave，于是我们得到了n个方程。但是第n个方程可以由前n-1个推导出来，所以本质上只有n-1个方程。

不妨考虑用表示，设，由易得.。

同理，有，……

所以当ans取到min的时候，最小。不难发现此式中为定值，只有可以改变。考虑其几何意义，上式相当于在x轴给出了n个定点，求一个点使其到这些定点距离之和最小。

这就是一个非常简单的数学问题了。画个图，运用调整思想不难得到取n个定点的中位数时最优。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1000000+5;
LL a[N],b[N],s=0;
int main(){
  int n;
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),s+=a[i];
  s/=n;
  for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=b[i-1]-(a[i]-s);
  sort(b+1,b+1+n);
  s=0;
  for (int i=1;i<=n;i++) s+=abs(b[i]-b[n/2]);
  printf("%lld",s); 
}